发表机构
University of Pisa（比萨大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究有限自动机中短扩展词的存在性，提出基于状态入度统计的证书函数B，证明B(S)≥0时扩展长度不超过n-1，并给出部分子集的统计检验，改进同步自动机理论。
AI 中文摘要
设 $\mathcal A$ 是一个在大小为 $n$ 的状态集 $Q$ 上、具有 $k$ 个字母的完全确定性有限自动机，对于 $Q$ 的一个真非空子集 $S$，令 $\mathrm{minext}(S)$ 为最短单词 $u$ 的长度，满足 $|Su^{-1}|>|S|$，其中 $Su^{-1}=\{q: q\cdot u\in S\}$。对每个状态 $q$ 赋予整数 $\beta^{\ast}_q=\sum_{t=1}^{n-1}k^{\\,n-1-t}(\mathrm{indeg}_t(q)-k^{t})$，其中 $\mathrm{indeg}_t(q)$ 统计满足 $|u|=t$ 且 $p\cdot u=q$ 的对 $(p,u)$ 的个数，并令 $B(S)=\sum_{q\in S}\beta^{\ast}_q$。在每个同步自动机上，$B(S)\ge0$ 蕴含 $\mathrm{minext}(S)\le n-1$，因此，由于 $B(Q)=0$，$S$ 和 $Q\setminus S$ 中必有一个在 $n-1$ 步内扩展；当 $B(S)>0$ 时无需任何假设。Kari 的欧拉扩展引理是 $\beta^{\ast}=0$ 的情形，而 $\beta^{\ast}$，如同族中每个成员 $\sum_{t=1}^{n-1}c_t\sigma_t$（$c_t>0$）一样，当且仅当自动机是欧拉时恒为零，其中 $\sigma_t(S)=\sum_{q\in S}(\mathrm{indeg}_t(q)-k^{t})$。在强连通自动机上，$\sigma_t(S)/k^{t}$ 对 Friedman 权重 $e$ 有 Cesàro 极限 $n\\,e(S)/e(Q)-|S|$；该极限一般只证明单元素集，而不证明更大的子集。假设 $B(S)\ge0$ 不能放宽一个整数单位，常数 $n-1$ 也不能改进。基于大小 $|Su^{-1}|$ 的二阶矩检验在 $n\le7$ 时证明了 $B(S)<0$ 的子集中 60% 到 95% 的扩展性。对于非欧拉自动机，若其长度为 $n-1$ 的单词合并的状态对比例有下界，且 $\max_q\mathrm{indeg}_{n-1}(q)=o(nk^{n-1})$，则该检验证明了除可忽略比例外的所有此类子集。泛函 $B$ 证明了 $\{B=0\}$ 之外一半的子集。在每个与 $n$ 互素的子集大小（$n\ge4$）上，存在某个同步欧拉二元自动机达到常数 $n-1$；是否仅在这些情况下成立仍是开放问题。没有重置界可推出：Černý 自动机存在不在 $n-1$ 内扩展的子集。
英文摘要
Let $\mathcal A$ be a complete deterministic finite automaton on a state set $Q$ of size $n$ with $k$ letters, and for a proper nonempty subset $S$ of $Q$ let $\mathrm{minext}(S)$ be the length of a shortest word $u$ with $|Su^{-1}|>|S|$, where $Su^{-1}=\{q: q\cdot u\in S\}$. To each state $q$ attach the integer $β^{\ast}_q=\sum_{t=1}^{n-1}k^{\,n-1-t}(\mathrm{indeg}_t(q)-k^{t})$, where $\mathrm{indeg}_t(q)$ counts the pairs $(p,u)$ with $|u|=t$ and $p\cdot u=q$, and let $B(S)=\sum_{q\in S}β^{\ast}_q$. On every synchronizing automaton, $B(S)\ge0$ implies $\mathrm{minext}(S)\le n-1$, so, as $B(Q)=0$, one of $S$ and $Q\setminus S$ extends within $n-1$; when $B(S)>0$ no hypothesis is needed. Kari's Eulerian extension lemma is the case $β^{\ast}=0$, and $β^{\ast}$, like every member of the family $\sum_{t=1}^{n-1}c_tσ_t$, $c_t>0$, vanishes identically if and only if the automaton is Eulerian, where $σ_t(S)=\sum_{q\in S}(\mathrm{indeg}_t(q)-k^{t})$. On strongly connected automata $σ_t(S)/k^{t}$ has Cesàro limit $n\,e(S)/e(Q)-|S|$ for Friedman's weight $e$; that limit certifies singletons but no larger subset in general. The hypothesis $B(S)\ge0$ cannot be relaxed by one integer unit, nor can the constant $n-1$ be improved. A second-moment test on the sizes $|Su^{-1}|$ certifies 60 to 95 percent of the subsets with $B(S)<0$ at $n\le7$. Along non-Eulerian automata whose words of length $n-1$ merge a fraction of the state pairs bounded below, with $\max_q\mathrm{indeg}_{n-1}(q)=o(nk^{n-1})$, it certifies all but a vanishing share of them. The functional $B$ certifies half of the subsets outside $\{B=0\}$. At each subset size coprime to $n$ ($n\ge4$) some synchronizing Eulerian binary automaton attains the constant $n-1$; whether only there is open. No reset bound follows: Černý's automata have subsets not extending within $n-1$.
