Beckner 不等式中的单调性
Monotonicity of Beckner Inequalities
- School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
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AI总结：
本文证明 Beckner 不等式的单调性原理：若对某指数 p 成立，则对所有更小的指数以相同常数成立，并推广到弱形式与速率函数，解决开放问题。
AI中文摘要：
本文证明了形如 \\[ \frac{\mu(f^2)-\mu(f^p)^{2/p}}{2-p}\leq C\E(f,f), \qquad f\in\D(\E),\quad 1\le p\le2, \\] 的 Beckner 不等式的单调性原理，其中 $\E$ 是保守对称 Dirichlet 型。若该不等式对每个指数 $p$ 成立，则对所有的 $q\in[1,p]$，它以相同的常数 $C$ 成立。这解决了 Wang 的专著~\cite{Wangbook} 第 6 章中提出的一个开放问题。我们还研究了形如 \\[ \Psi_p(f)\le \beta(r)\E(f,f)+r\\,\Osc(f)^2,\qquad f\in\D(\E),\quad r>0, \\] 的弱 Beckner 不等式，其中 $\beta$ 是速率函数。我们证明了相同的单调性原理保持整个速率函数。我们进一步推导了多项式速率、半群压缩性和集中不等式方面的推论。
英文摘要：
In this paper, we prove a monotonicity principle for Beckner inequalities of the form \[ \frac{μ(f^2)-μ(f^p)^{2/p}}{2-p}\leq C\E(f,f), \qquad f\in\D(\E),\quad 1\le p\le2, \] where $\E$ is a conservative symmetric Dirichlet form. If the inequality holds for every exponent $p$, it holds with the same constant $C$ for all $q\in[1,p]$. This resolves an open question posed in Chapter~6 of Wang's monograph~\cite{Wangbook}. We also study weak Beckner inequalities of the form \[ Ψ_p(f)\le β(r)\E(f,f)+r\,\Osc(f)^2,\qquad f\in\D(\E),\quad r>0, \] where $β$ is a rate function. We show that the same monotonicity principle preserves the entire rate function. We further derive consequences for polynomial rates, semigroup contractivity, and concentration.
