不含 $K_k$-因子的谱极值图

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设 $k\ge 3$ 且 $n=km$。$n$ 顶点图中的 $K_k$-因子是 $m$ 个两两不相交的 $K_k$ 副本的集合，覆盖整个顶点集。我们确定了当 $m\ge 2k-1$ 时，不含 $K_k$-因子的 $n$ 顶点图的最大邻接谱半径。更精确地，我们证明每个这样的图 $G$ 满足 \\[ \rho(G)\le \rho(H_{n,k}), \qquad H_{n,k}=K_{k-2}\vee\bigl(K_{n-k+1}\cup K_1\bigr), \\] 当且仅当 $G\cong H_{n,k}$ 时取等号。等价地，唯一极值图是从 $K_{n-1}$ 出发，添加一个与团中恰好 $k-2$ 个顶点相邻的顶点得到的。我们的证明结合了由 Hajnal--Szemerédi 定理导出的稀疏补图分解引理、Motzkin--Straus 不等式以及基于商矩阵和 Rayleigh 商的谱估计。

英文摘要

Let $k\ge 3$ and let $n=km$. A $K_k$-factor in an $n$-vertex graph is a collection of $m$ vertex-disjoint copies of $K_k$ that covers the entire vertex set. We determine the maximum adjacency spectral radius of an $n$-vertex graph containing no $K_k$-factor when $m\ge 2k-1$. More precisely, we prove that every such graph $G$ satisfies \[ ρ(G)\le ρ(H_{n,k}), \qquad H_{n,k}=K_{k-2}\vee\bigl(K_{n-k+1}\cup K_1\bigr), \] with equality if and only if $G\cong H_{n,k}$. Equivalently, the unique extremal graph is obtained from $K_{n-1}$ by adding one vertex adjacent to exactly $k-2$ vertices of the clique. Our proof combines a decomposition lemma for sparse complements, derived from the Hajnal--Szemerédi theorem, with the Motzkin--Straus inequality and spectral estimates based on quotient matrices and the Rayleigh quotient.

发表机构

• School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）
• School of Mathematics, Taiyuan University of Technology（太原理工大学数学学院）
• School of Mathematical Sciences, Shanxi Normal University（山西师范大学数学科学学院）
• School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）

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