关于指数一的Fano簇作为线Grassmannian的线性截面
On Fano varieties of index one that are linear sections of Grassmannians of lines
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本文研究线Grassmannian的一般线性截面Fano簇，证明其双有理等价于由pfaffian行列式定义的超曲面，并给出相应超曲面的有理参数化。
中文摘要 AI 辅助
本文考虑射影空间 $\mathbb{P}^n$ 中线的Grassmannian $\mathbb G(1,n)$ 的一般 $n-2$ 维线性截面 $X$，它是一个指数为1的Fano簇。我们首先证明当 $n$ 为奇数时，$X$ 双有理等价于由 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中线性形式的 $n+1$ 阶pfaffian行列式定义的超曲面，并详细研究这一双有理变换。然后当 $n$ 为偶数时，我们证明 $X$ 是单有理的，且双有理等价于由 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中线性形式的 $n$ 阶pfaffian行列式定义的超曲面。此外，我们证明由 $X$ 中的点对应的直线所描述的 $\mathbb{P}^n$ 中的超曲面次数为 $n-1$ 且是有理的，并找到它的一个有理参数化。
英文摘要
In this paper we consider the general $n-2$ dimensional linear section $X$ of the Grassmannian $\mathbb G(1,n)$ of lines in $\mathbb{P}^n$, that is a Fano variety of index 1. We first prove that for $n$ odd $X$ is birational to a hypersurface defined by a pfaffian determinant of order $n+1$ of linear forms in $\mathbb{P}^{n-1}$, and we study this birational transformation in some detail. Then for $n$ even, we prove that $X$ is unirational and birational to a hypersurface defined by a pfaffian determinant of order $n$ of linear forms in $\mathbb{P}^{n-1}$. Moreover we prove that the hypersurface of $\mathbb{P}^n$ described by the lines corresponding to the points in $X$ has degree $n-1$ and is rational, and we find a rational parametrization of it.
发表机构
- Univ. Grenoble Alpes, CNRS, IF（格勒诺布尔阿尔卑斯大学，法国国家科学研究中心）
- Dipartimento di Matematica, Universitá di Roma Tor Vergata（罗马托维加塔大学数学系）
- Dipartimento di Matematica e Fisica, Universitá Roma Tre（罗马第三大学数学与物理系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
