AI 中文总结
本文证明在希尔伯特平面中，边角角准则、射线对应原理和角平分线存在性可推导出驴桥定理，从而使其在重建SAS的假设中冗余，改进主定理为四个条件即可重建SAS。
AI 中文摘要
在本工作的第一部分中，我们证明了，在缺乏边角边公理的希尔伯特平面内，边角角准则连同射线对应原理[RCT]、角平分线的存在性[AB]、相等角的补角全等性[SA]以及驴桥定理[PA]，足以重建SAS。我们当时未解决[PA]是否确实需要与其他三个原理同时使用的问题，仅指出了所涉及原理在性质上的定性不对称性。在第二部分中，我们回答了这个问题：我们证明\begin{equation*} \textrm{SAA},\\ [\textbf{RCT}],\\ [\textbf{AB}] \\;\vdash\\; [\textbf{PA}], \end{equation*} 因此[PA]在我们主定理的假设中是冗余的，这改进为\begin{equation*} \textrm{SAA},\\ [\textbf{RCT}],\\ [\textbf{AB}],\\ [\textbf{SA}] \\;\vdash\\; \textrm{SAS}. \end{equation*} 该证明改编了Donnelly最近给出的一个论证，他从SAA连同角加公理和角平分线的存在性重建了SAS。
英文摘要
In the first part of this work we showed that, within a Hilbert plane deprived of the Side-Angle-Side axiom, the Side-Angle-Angle criterion, together with a ray correspondence principle [\textbf{RCT}], the existence of angle bisectors [\textbf{AB}], the congruence of supplements of congruent angles [\textbf{SA}], and the Pons Asinorum [\textbf{PA}], suffices to reconstruct SAS. We left open the question of whether [\textbf{PA}] is genuinely required alongside the other three principles, noting only a qualitative asymmetry in the nature of the principles involved. In this second part we answer this question: we show that \begin{equation*} \textrm{SAA},\ [\textbf{RCT}],\ [\textbf{AB}] \;\vdash\; [\textbf{PA}], \end{equation*} so that [\textbf{PA}] is redundant among the hypotheses of our main theorem, which improves to \begin{equation*} \textrm{SAA},\ [\textbf{RCT}],\ [\textbf{AB}],\ [\textbf{SA}] \;\vdash\; \textrm{SAS}. \end{equation*} The proof adapts an argument recently given by Donnelly, who reconstructs SAS from SAA together with an angle addition axiom and the existence of angle bisectors.
Comments12 pages, 4 Figures
