发表机构
Technical University of Berlin（柏林工业大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文用动态平均场方法研究随机矩阵之和的逆，证明其与确定性等价近似的偏差渐近服从高斯分布，并给出迹的收敛性。
AI 中文摘要
我们研究 $(\mathbf{O}^\top \mathbf{A} \mathbf{O} + \mathbf{B})^{-1}$，其中 $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 是对称正定矩阵，其极限特征值分布为 ${\rm F}_{\mathbf{A}}, {\rm F}_{\mathbf{B}}$，谱有界且远离零，$\mathbf{O}$ 为 Haar 正交矩阵。我们分析确定性等价型近似 $\boldsymbol{\Delta}\doteq (\mathbf{O}^\top \mathbf{A} \mathbf{O} + \mathbf{B})^{-1}- \mathbf{S}^{-1}$ 的偏差，其中 $\mathbf{S} = \mathbf{B} - z^\star \mathbf{I}$。首先，设 $\mathbf{O}$ 与 $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{u})$ 独立，$\\|\mathbf{u}\\| = 1$。存在一列标准高斯向量 $\mathbf{g}_N$ 与 $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{u})$ 独立，使得 $\\| \mathbf{S} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{S} \mathbf{u} - \sqrt{\frac \tau N}\\, \mathbf{g}_N \\| \to 0$ 几乎必然成立。这里 $z^\star = -{\rm R}(-\chi)$，$\tau = {\rm R}'(-\chi)(1 + \eta {\rm R}'(-\chi))$，其中 ${\rm R}$ 是 ${\rm F}_{\mathbf{A}}$ 的 R-变换，$(\chi, \eta)$ 是 ${\rm F}_{\mathbf{A}}, {\rm F}_{\mathbf{B}}$ 的自由加性卷积的前两个逆矩。设 $\mathbf{K} = \sum_{i \le \lfloor N^q \rfloor} \lambda_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^\top$，$q \in [0, C]$，其中 $\mathbf{u}_i, \mathbf{v}_i$ 为单位范数但不一定正交，且 $\limsup_N \max_i |\lambda_i| < \infty$ 几乎必然成立。若 $\mathbf{O}$ 与 $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \{\mathbf{u}_i, \mathbf{v}_i\})$ 独立，则 $N^{-q} {\rm tr}(\mathbf{K} \boldsymbol{\Delta}) \to 0$ 几乎必然成立。证明采用动态平均场方法：自由 Appell 多项式的生成函数给出在迭代大-$N$、大时间极限下近似所关注量的线性动力学，我们分析其波动。
英文摘要
We study $(\mathbf{O}^\top \mathbf{A} \mathbf{O} + \mathbf{B})^{-1}$, where $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ are symmetric positive definite, with limiting eigenvalue distributions ${\rm F}_{\mathbf{A}}, {\rm F}_{\mathbf{B}}$ and spectra bounded and bounded away from zero, and $\mathbf{O}$ is Haar orthogonal. We analyze the deviation of deterministic-equivalent-type approximation $\boldsymbolΔ\doteq (\mathbf{O}^\top \mathbf{A} \mathbf{O} + \mathbf{B})^{-1}- \mathbf{S}^{-1}$ where $\mathbf{S} = \mathbf{B} - z^\star \mathbf{I}$. First, let $\mathbf{O}$ be independent of $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{u})$, $\|\mathbf{u}\| = 1$. There is sequence of a standard Gaussian vectors $\mathbf{g}_N$ independent of $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{u})$ with $\| \mathbf{S} \boldsymbolΔ \mathbf{S} \mathbf{u} - \sqrt{\frac τN}\, \mathbf{g}_N \| \to 0$ a.s. Here $z^\star = -{\rm R}(-χ)$ and $τ= {\rm R}'(-χ)(1 + η{\rm R}'(-χ))$, where ${\rm R}$ is the R-transform of ${\rm F}_{\mathbf{A}}$ and $(χ, η)$ are the first two inverse moments of the free additive convolution of ${\rm F}_{\mathbf{A}}, {\rm F}_{\mathbf{B}}$. Let $\mathbf{K} = \sum_{i \le \lfloor N^q \rfloor} λ_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^\top$, $q \in [0, C]$, with unit-norm, not necessarily orthogonal $\mathbf{u}_i, \mathbf{v}_i$ and $\limsup_N \max_i |λ_i| < \infty$ a.s. If $\mathbf{O}$ is independent of $(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \{\mathbf{u}_i, \mathbf{v}_i\})$, then $N^{-q} {\rm tr}(\mathbf{K} \boldsymbolΔ) \to 0$ a.s. The proofs use a dynamical mean-field approach: the generating functions of the free Appell polynomials give a linear dynamics approximating the quantity of interest in the iterated large-$N$, large-time limit, whose fluctuations we analyze.
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