原子拓扑斯、选择谱与模型论稳定性
Atomic toposes, choice spectra and model-theoretic stability
AI总结：
本文研究原子层拓扑斯的选择公理性质与模型论稳定性之间的等价关系，建立了 Galois 稳定性、极大结构扩张及有限结构类连通分量有界性分别与不同选择公理版本的对应，并通过拓扑 Galois 表示联系置换模型。
AI中文摘要：
对于一类合适的结构 $\mathcal{K}$，令 ${\rm Sh}(\mathcal{K}_\lambda^{\rm op},J_{\rm at})$ 表示基数至多为 $\lambda$ 的 $\mathcal{K}$ 中结构的范畴 $\mathcal{K}_\lambda$ 的对偶范畴上的原子层拓扑斯，其中态射为嵌入。本文分析了 $\mathcal{K}$ 的模型论性质与 ${\rm Sh}(\mathcal{K}_\lambda^{\rm op},J_{\rm at})$ 的逻辑性质之间的关系。对于无穷基数 $\lambda$，我们证明 $\mathcal{K}$ 是 Galois $\lambda$-稳定的当且仅当原子层拓扑斯 ${\rm Sh}(\mathcal{K}_\lambda^{\rm op},J_{\rm at})$ 对 $\lambda^+$-指标族满足选择公理。我们进一步证明，$\mathcal{K}_\lambda$ 中的每个结构都能扩张为极大结构，当且仅当 ${\rm Sh}(\mathcal{K}_\lambda^{\rm op},J_{\rm at})$ 满足内蕴选择公理。若 $\mathcal{K}_{\rm fin}$ 是有限结构的类，则 $\mathcal{K}_{\rm fin}$ 的每个连通分量中结构的基数具有有限上界，当且仅当 ${\rm Sh}(\mathcal{K}^{\rm op}_{\rm fin},J_{\rm at})$ 满足（可数）选择公理的内蕴版本。此外，通过拓扑 Galois 表示，我们建立了原子层拓扑斯的选择公理判据与集合论中置换模型的判据之间的对应关系。
英文摘要：
For a suitable class of structures $\mathcal{K}$, let ${\rm Sh}(\mathcal{K}_λ^{\rm op},J_{\rm at})$ denote the atomic sheaf topos over the opposite of the category $\mathcal{K}_λ$ of structures in $\mathcal{K}$ of cardinality at most $λ$, with embeddings as morphisms. In this article, we analyze the relationship between model-theoretic properties of $\mathcal{K}$ and logical properties of ${\rm Sh}(\mathcal{K}_λ^{\rm op},J_{\rm at})$. For an infinite cardinal $λ$, we show that $\mathcal{K}$ is Galois $λ$-stable if and only if the atomic sheaf topos ${\rm Sh}(\mathcal{K}_λ^{\rm op},J_{\rm at})$ satisfies the axiom of choice for $λ^+$-indexed families. We further show that every structure in $\mathcal{K}_λ$ extends to a maximal structure if and only if ${\rm Sh}(\mathcal{K}_λ^{\rm op},J_{\rm at})$ satisfies the internal axiom of choice. If $\mathcal{K}_{\rm fin}$ is a class of finite structures, the cardinalities of the structures in each connected component of $\mathcal{K}_{\rm fin}$ have a finite upper bound if and only if ${\rm Sh}(\mathcal{K}^{\rm op}_{\rm fin},J_{\rm at})$ satisfies the internal axiom of (countable) choice. Furthermore, via the topological Galois representation, we establish a correspondence between the criteria for the axiom of choice for atomic sheaf toposes and those for permutation models in set theory.
