发表机构
Technische Universität Dortmund（多特蒙德工业大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文利用 Jack 多项式级数表示，证明了 $B_N$ 型贝塞尔函数及其导数在参数 $k_1\to\infty$ 时的冻结极限，并由此得到带漂移贝塞尔过程的弱极限，应用于矩阵空间上带漂移布朗运动的径向部分。
AI 中文摘要
我们利用 $B_N$ 型贝塞尔函数关于 Jack 多项式的级数表示，证明了当 $x,y\in\mathbb R^N$ 且 $k_2\ge0$ 时，极限 $$\lim_{k_1\to\infty} J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1y)^{1/k_1}= 2^N\prod\limits_{i=1}^N \Bigg( e^{\sqrt{1+x_i^2 y_i^2}-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x_i^2 y_i^2}+1} \Bigg)$$ 成立。此外，对于 $N\ge1$ 且 $k_2=0,1/2,1,2$ 的情形，以及 $N=2$ 且 $k_2>0$ 的情形，Rösler 和 Demni 分别给出的已知 Laplace 型积分表示，导出了极限 $$\lim_{k_1 \to \infty} \partial_{x_j} J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1y) /(k_1 \cdot J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1 y)) \quad (j=1,\ldots,N)$$ 的相关结果。这些极限导致了相应带漂移的贝塞尔过程的弱极限结果。对于 $k_2=1/2,1,2$，这些极限结果可应用于 $M\times N$ 维实矩阵、复矩阵和四元数矩阵上带漂移布朗运动的径向部分，当 $M\to\infty$ 时。我们还讨论了 Dunkl 情形 $N=1$ 下的这些极限。
英文摘要
We use the series representation of the Bessel functions of type $B_N$ in terms of Jack polynomials and show that $$\lim_{k_1\to\infty} J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1y)^{1/k_1}= 2^N\prod\limits_{i=1}^N \Bigg( e^{\sqrt{1+x_i^2 y_i^2}-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x_i^2 y_i^2}+1} \Bigg)$$ for $x,y\in\mathbb R^N$ and $k_2\ge0$. Moreover, the known Laplace-type integral representations for $N\ge1$ and $k_2=0,1/2,1,2$ and for $N=2$ and $k_2>0$ by Rösler and Demni respectively lead to related limits for $$\lim_{k_1 \to \infty} \partial_{x_j} J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1y) /(k_1 \cdot J_{(k_1,k_2)}^B(x,k_1 y)) \quad (j=1,\ldots,N).$$ These limits lead to weak limit results for the associated Bessel processes with drift. For $k_2=1/2,1,2$, these limit results have applications to radial parts of Brownian motions with drift on the $M\times N$-dimensional matrices over $\mathbb R,\mathbb C$, and the quaternions for $M\to\infty$. We also discuss these limits in the Dunkl case $N=1$.
