$\mathcal A(1)$-hit 问题的二元子式证书（$MO(2)$）
Binary Minor Certificates for the $\mathcal A(1)$-hit problem of $MO(2)$
- FPT University（FPT大学）
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AI总结：
本文通过构造二元 hit 矩阵的行列式为一的子式及对偶泛函，严格证明了 $MO(2)$ 的 $\mathcal A(1)$-hit 问题中各次数的精确秩，确立了 Shih 的猜想，并给出 Steenrod 平方的闭式公式、Hilbert 级数及模的直和分解。
AI中文摘要：
设 $M=\widetilde H^*(MO(2);\mathbb F_2)$，并设 $\mathcal A(1)$ 为由 $\operatorname{Sq}^1$ 和 $\operatorname{Sq}^2$ 生成的模 $2$ Steenrod 代数的子代数。在本工作中，我们确定了每个内部次数 $h\geq0$ 下的商空间 $\mathbb F_2\otimes_{\mathcal A(1)}M$，其中内部次数 $h$ 对应于上同调次数 $h+2$。为了克服有限实验外推的局限性，我们的证明是严格证书式的：在每个次数中，我们展示二元 hit 矩阵的一个行列式为 $1$ 的子式，以及一个互补的线性对偶泛函族，该泛函族湮灭所有 hit 列，从而在数学上保证所有次数的精确秩。这严格确立了 Shih 2012 年报告中提出的单项式生成族和模分解。此外，我们从长度二对称多项式模型推导出每个 Steenrod 平方的闭式二项式公式，纠正了 $\mathcal A(0)$ 计算中的边界遗漏，计算了 $\mathcal A(1)$-cohit 的精确 Hilbert 级数，并证明了 $M$ 分解为两个稳定 $\mathcal A(1)$-子模的内在直和分解。
英文摘要：
Let $M=\widetilde H^*(MO(2);\mathbb F_2)$ and let $\mathcal A(1)$ be the subalgebra of the mod $2$ Steenrod algebra generated by $\operatorname{Sq}^1$ and $\operatorname{Sq}^2$. In this work, we determine the quotient $\mathbb F_2\otimes_{\mathcal A(1)}M$ in every internal degree $h\geq0$, where internal degree $h$ corresponds to cohomological degree $h+2$. To overcome the limitations of finite experimental extrapolation, our proof is strictly certifying: in each degree, we exhibit a determinant-one minor of the binary hit matrix and a complementary family of linear dual functionals annihilating every hit column, mathematically guaranteeing the exact rank for all degrees. This rigorously establishes the monomial generating families and module decomposition proposed in Shih's 2012 report. Furthermore, we derive a closed binomial formula for every Steenrod square from the length-two symmetric-polynomial model, correct a boundary omission in the $\mathcal A(0)$ calculation, compute the exact Hilbert series of the $\mathcal A(1)$-cohit, and prove an intrinsic direct-sum decomposition of $M$ into two stable $\mathcal A(1)$-submodules.
