指数的普适完备性
Universal completeness of exponentials
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中文总结 AI 辅助
本文推广傅里叶唯一性定理，构造均匀密度为一的离散集使指数系统在任意小于1测度集上L^p完备，并证明渐近整数集无此性质，同时给出整数频率密度v的类似结果，证明Sobolev条件α>1/2的尖锐性，结果可推广至高维并经Lean验证。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑经典傅里叶唯一性定理的推广。首先，我们构造一族均匀离散集合 $\Lambda \subset \mathbb{R}$，其均匀密度为一，使得指数系统 $\{e^{2\pi i\lambda x}: \lambda \in \Lambda\}$ 在 $L^p(S)$ 中对每个 $1 \leq p < \infty$ 以及每个满足 $|S| < 1$ 的可测集 $S \subset \mathbb{R}$ 都是完备的。我们还证明，任何渐近整数集合都不具有这种普适性。此外，对于每个 $v \in (0,1)$，我们构造一个整数频率集合，其均匀密度为 $v$，使得其指数系统在 $L^p(S)$ 中对每个 $1 \leq p < \infty$ 以及每个满足 $|S| < v$ 的可测集 $S \subset [0,1]$ 都是完备的。最后，我们证明Olevskii和Ulanovskii所考虑的具有周期弱间隙的谱的均匀离散唯一性集合存在的Sobolev正则性条件 $\alpha > \frac12$ 是尖锐的。我们的结果可推广到更高维度，并已在Lean中验证。
英文摘要
We consider generalizations of the classical Fourier uniqueness theorem. First, we construct a family of uniformly discrete sets $Λ\subset \mathbb{R}$, of uniform density one, such that the exponential system $\{e^{2πiλx} : λ\in Λ\}$ is complete in $L^p(S)$ for every $1 \leq p < \infty$ and every measurable set $S \subset \mathbb{R}$ with $|S| < 1$. We also show that no set that is asymptotically integer can have this universality property. Additionally, for every $v \in (0,1)$, we construct a set of integer frequencies and uniform density $v$ whose exponential system is complete in $L^p(S)$ for every $1 \leq p < \infty$ and every measurable set $S \subset [0,1]$ with $|S| < v$. Finally, we prove that the Sobolev regularity condition $α> \frac12$ for the existence of uniformly discrete uniqueness sets for spectra with periodic weak gaps, considered by Olevskii and Ulanovskii, is sharp. Our findings admit extensions to higher dimensions and are verified in Lean.
发表机构
- ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
- Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
- University of Oxford（牛津大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
