任意维数等周区域的一般唯一性
Generic Uniqueness of Isoperimetric Regions in Arbitrary Dimension
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中文总结 AI 辅助
本文证明在任意维闭流形上，对一般黎曼度量，给定体积分数（除半体积外）的等周区域唯一；半体积时恰有两个极小化子，且证明无需边界正则性或非退化条件。
中文摘要 AI 辅助
设 $M^{n+1}$ 为闭连通光滑流形，其中 $n\geq 1$。对于每个给定的体积分数 $s\in(0,1)\setminus\{\frac12\}$，我们证明：对于一般（generic）的光滑黎曼度量 $g$ 的集合，体积为 $s \operatorname{Vol}_g(M)$ 的等周区域是唯一的。在半体积情形，一般度量恰好有两个极小化子：区域 $E$ 及其补集 $E^c$。作为推论，对于每个 $m>0$，在满足 $m<\operatorname{Vol}_g(M)$ 的一般度量集合 $g$ 上，唯一性成立；并且在满足 $0<m<\operatorname{Vol}_g(M)$ 的一般对 $(g,m)$ 的集合上，唯一性也成立。证明是变分法的，既不需要边界正则性，也不需要约束 Jacobi 算子的非退化性。特别地，即使等周边界有奇点，结果也适用。
英文摘要
Let $M^{n+1}$ be a closed, connected smooth manifold, where $n\geq 1$. For each prescribed volume fraction $s\in(0,1)\setminus\{\frac12\}$, we prove that the isoperimetric region of volume $s \operatorname{Vol}_g(M)$ is unique for a generic set of smooth Riemannian metrics $g$. At half volume, a generic metric has exactly two minimizers, a region $E$ and its complement $E^c$. As consequences, for every $m>0$, uniqueness holds for a generic set of metrics $g$ satisfying $m<\operatorname{Vol}_g(M)$, and it also holds for a generic set of pairs $(g,m)$ with $0<m<\operatorname{Vol}_g(M)$. The proof is variational and requires neither boundary regularity nor nondegeneracy of the constrained Jacobi operator. In particular, the results apply even when isoperimetric boundaries are singular.
