发表机构
Ohio State University; Nanjing University of Finance and Economics（俄亥俄州立大学; 南京财经大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出遍历方法，刻画使方程 $x+y=\lfloor\alpha(n)\rfloor$ 在正密度集合或划分胞腔中总有解的 Hardy 域函数，并推广到两集合及 $kx+ly$ 形式，部分结果适用于素数子集。
AI 中文摘要
受 Erdős、Sárközy 和 Sós（1989年）以及 Khalfalah 和 Szemerédi（2006年）的问题与结果的启发，我们引入了一种遍历方法，用于处理形如 \\[ x+y=\lfloor\alpha(n)\rfloor,\quad x,y\in A,\\ n\in\mathbb{N} \\] 的加性问题，其中 $\alpha(t)$ 是一个足够正则的函数，例如多项式或具有多项式增长的对数-指数函数（如 $\alpha(t)=t^{5/2}+t^2\log t$），而 $A$ 要么是给定的正上密度集合，要么是 $\mathbb{N}$ 的指定有限划分中的一个胞腔。我们完整描述了具有多项式增长的 Hardy 域函数，对于这些函数，上述划分问题和密度问题总是可解的。该遍历方法还适用于更一般的问题：寻找 $x\in A_1,\\ y\in A_2$，其中 $A_1,A_2$ 是两个给定的正密度集合。这进而使我们能够处理形如 $kx+ly=\lfloor\alpha(n)\rfloor$ 的方程，其中 $k,l\in\mathbb{Z}$。当 $A$ 是素数集合中具有正相对上密度的子集时，我们的一些结果也成立。
英文摘要
Motivated by questions and results of Erdős, Sárközy and Sós (1989), and Khalfalah and Szemerédi (2006), we introduce an ergodic approach to additive problems concerning solutions of equations of the form \[ x+y=\lfloorα(n)\rfloor,\quad x,y\in A,n\in\mathbb{N} \] where $α(t)$ is a sufficiently regular function, such as a polynomial or a logarithmico-exponential function of polynomial growth (e.g. $α(t)=t^{5/2}+t^2\log t$), and $A$ is either a given set of positive upper density, or a cell of a prescribed finite partition of $\mathbb{N}$. We give a complete description of the Hardy field functions of polynomial growth for which these partition and density problems are always solvable. The ergodic approach also applies to the more general problem of finding $x\in A_1,y\in A_2$, where $A_1,A_2$ are two given sets of positive density. This in turn allows us to treat equations of the form $kx+ly=\lfloorα(n)\rfloor$, where $k,l\in\mathbb{Z}$. Some of our results also hold true when $A$ is a subset of the primes with positive relative upper density.
Comments69 pages
