发表机构
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
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本文通过复解析方法，为实数无限制指数结构建立了尖锐 o-极小性、Wilkie 定理及猜想的尖锐形式，并推广了有理点插值定理。
AI 中文摘要
我们发展了一种复解析方法，用于处理（实数）无限制指数的模型论。作为结果，我们推导出结构 ${\mathbb R}^\text{RE}_{\exp}$（以及更一般的结构）的许多基础结果的尖锐形式。特别地，我们建立了尖锐 o-极小性、Wilkie 补集定理的尖锐形式、Wilkie 猜想的尖锐形式以及由项分段可定义性的尖锐形式。我们的方法基于 Lion--Rolin 的 LE-准备定理的复化。我们还为 ${\mathbb R}_\text{an,exp}$ 发展了一个平行的复理论，例如证明了在无处稠密可定义集合上高度为 $H$ 的有理点可以被一个次数为 $\text{poly}(\log H)$ 的代数超曲面插值。这推广了 Cluckers--Pila--Wilkie 的一个定理，他们证明了 ${\mathbb R}_\text{an}^\text{pow}$ 的相同陈述。
英文摘要
We develop a complex-analytic approach to the model theory of the (real) unrestricted exponential. As a consequence we derive sharp forms of many of the foundational results for the structure ${\mathbb R}^\text{RE}_{\exp}$ (and more general structures). In particular we establish sharp o-minimality, a sharp form of Wilkie's theorem of the complement, a sharp form of Wilkie's conjecture and a sharp form of piecewise definability by terms. Our approach is based on a complexification of the LE-preparation theorem of Lion--Rolin. We also develop a parallel complex theory for ${\mathbb R}_\text{an,exp}$, proving for example that the rational points of height $H$ on a nowhere-dense definable set can be interpolated by an algebraic hypersurface of degree $\text{poly}(\log H)$. This generalizes a theorem of Cluckers--Pila--Wilkie who proved the same statement for ${\mathbb R}_\text{an}^\text{pow}$.
Comments46 pages
