发表机构
University of Concepción（康塞普西翁大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过高斯映射定义法向能量，研究凸平面曲线的傅里叶延拓，给出局部$L^4$估计及单项式曲线的临界阈值$s_c(k)=(k-2)/(3k-4)$，并证明能量层面的最优性。
AI 中文摘要
我们通过高斯映射组织质量$|f|^2\\,\mathrm d\sigma$，研究紧致凸$C^2$平面曲线上的傅里叶延拓。前推测度\\[ \nu_f= N_\\#\bigl(|f|^2\\,\mathrm d\sigma\bigr) \\]记录了其在法向方向上的分布。转向测度$\mathrm d\mu_\kappa=\kappa\\,\mathrm d\sigma$通过\\[ r_R(\xi)\\, \mu_\kappa\bigl(B_\Gamma(\xi,r_R(\xi))\bigr) \asymp R^{-1} \\]确定一个内在的末端切向尺度$r_R(\xi)$，从而得到依赖于位置的角分辨率$\rho_R(\xi)=R^{-1}/r_R(\xi)$。在关于$\mu_\kappa$的二倍假设下，$r_R$（在结构常数意义下）是曲线能被线性化到精度$R^{-1}$的最大尺度。这些尺度定义了法向能量，相关的末端分解和横向几何产生局部$L^4$傅里叶延拓估计及其加权变体。对于单项式曲线$\gamma_k(t)=(t,t^k)$，其中$k\geq3$为实数，末端尺度是显式的，且能量允许用$\nu_f$的角相关性进行多尺度表示。在$\nu_f$满足$s$维Frostman条件下，这产生一个增长图，其临界阈值\\[ s_c(k)=\frac{k-2}{3k-4} \\]将平点和非退化区域分开。由此得到的速率（包括临界对数修正）在能量层面上是尖锐的。
英文摘要
We study Fourier extension from compact convex $C^2$ planar curves by organizing the mass $|f|^2\,\mathrm dσ$ through the Gauss map. The pushforward measure \[ ν_f= N_\#\bigl(|f|^2\,\mathrm dσ\bigr) \] records its distribution in normal directions. The turning measure $\mathrm dμ_κ=κ\,\mathrm dσ$ determines an intrinsic terminal tangential scale $r_R(ξ)$ through \[ r_R(ξ)\, μ_κ\bigl(B_Γ(ξ,r_R(ξ))\bigr) \asymp R^{-1}, \] and hence a position-dependent angular resolution $ρ_R(ξ)=R^{-1}/r_R(ξ)$. Under a doubling hypothesis on $μ_κ$, $r_R$ is, up to structural constants, the largest scale on which the curve can be linearized to precision $R^{-1}$. These scales define a normal-direction energy, and the associated terminal decomposition and transverse geometry yield local $L^4$ Fourier extension estimates and weighted variants. For the monomial curves $γ_k(t)=(t,t^k)$, $k\geq3$ real, the terminal scales are explicit and the energy admits a multiscale representation in terms of angular correlations of $ν_f$. Under an $s$-dimensional Frostman condition on $ν_f$, this yields a growth diagram with critical threshold \[ s_c(k)=\frac{k-2}{3k-4}, \] separating the flat-point and nondegenerate regimes. The resulting rates, including the critical logarithmic correction, are sharp at the energy level.
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