Conductor-Discriminant 不等式：关于温和分歧循环覆盖 II
Conductor-Discriminant Inequality for Tamely Ramified Cyclic Covers II
- Graduate Center, City University of New York（纽约市立大学研究生中心）
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AI总结：
本文为温和分歧循环覆盖建立 conductor-discriminant 不等式，证明其贡献量非负性并刻画负值情形为有理双重点，推广了 Ogg、Saito 等人的工作。
AI中文摘要：
设 $K$ 是一个 Hensel 离散赋值域，其整数环 $\mathcal{O}_K$ 是优秀的，剩余域 $k$ 是代数闭的。设 $X\to\mathbb{P}^1_K$ 是一个次数为 $n$ 的循环覆盖，且 $n$ 与 $k$ 的特征互素。在与 Obus 和 Srinivasan 的合作工作中，我们定义了一个整数，称为 conductor-discriminant 贡献 $\text{cdc}(y)$，它与 $\mathbb{P}^1_{K}$ 的一个正则 $\mathcal{O}_K$-模型 $\mathcal{Y}$ 在 $K(X)$ 中的正规化的分支除子的一个重数 $2$ 的点 $y$ 相关联。在关于 $\text{cdc}(y)$ 的几个关键结果的前提下，我们证明了 $X$ 的 conductor-discriminant 不等式，推广了 Ogg、Saito、Liu、Srinivasan 以及 Obus--Srinivasan 的先前工作。在这篇配套论文中，我们提供了 $\text{cdc}(y)$ 所需的技术结果。特别地，我们证明 $\text{cdc}(y)$ 是非负的，除非对 $n$ 和 $y$ 处分支除子的结构有非常严格的限制。此外，如果 $\text{cdc}(y)$ 为负，我们证明在 $\mathcal{Y}$ 在 $K(X)$ 中的正规化下，$y$ 上任意点的完备局部环的谱是一个有理双重点。在此过程中，我们证明了一个相关量——conductor 指数-discriminant 贡献 $\text{cedc}(y)$ 的非负性，该量在我们与 Obus 和 Srinivasan 的合作工作中被用来给出 Kohls 一个结果的新证明。
英文摘要：
Let $K$ be a Henselian discretely valued field with excellent ring of integers $\mathcal{O}_K$ and algebraically closed residue field $k$. Let $X\to\mathbb{P}^1_K$ be a cyclic cover of degree $n$ prime to the characteristic of $k$. In joint work with Obus and Srinivasan (arXiv:2609.20553), we define an integer called the conductor-discriminant contribution $\text{cdc}(y)$ associated to a multiplicity $2$ point $y$ of the branch divisor of the normalization in $K(X)$ of a regular $\mathcal{O}_K$-model $\mathcal{Y}$ of $\mathbb{P}^1_{K}$; modulo several key results about $\text{cdc}(y)$, we prove a conductor-discriminant inequality for $X$, extending previous work of Ogg, Saito, Liu, Srinivasan, and Obus$-$Srinivasan. In this companion paper, we supply the necessary technical results for $\text{cdc}(y)$. In particular, we show $\text{cdc}(y)$ is non-negative except under highly restrictive conditions on $n$ and the structure of the branch divisor at $y$. Moreover, if $\text{cdc}(y)$ is negative, we show the spectrum of the complete local ring of any point lying over $y$ under the normalization of $\mathcal{Y}$ in $K(X)$ is a rational double point. Along the way, we show the non-negativity of a related quantity, the conductor exponent-discriminant contribution $\text{cedc}(y)$, which is used in our joint work with Obus and Srinivasan to give a new proof of a result of Kohls.
