发表机构
School of Mathematics and Statistics, Zaozhuang University（枣庄大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造了 copula 的对称 operad，证明了 copula 熵在复合下的可加性，并给出了闭子 operad 及反例，为依赖结构的层次组合提供了代数框架。
AI 中文摘要
我们在所有多元 copula 的类上构造了一个对称 operad $\mathfrak{C}$，其 operadic 复合由 Sklar 替换给出。这为依赖结构的层次组合提供了一个代数框架。将注意力限制在密度属于 $L\log L$ 的绝对连续 copula 上，我们证明了 copula 熵在复合下具有可加性，从而使其成为合适的有限熵子 operad 上的可加特征。我们构造了显式的闭子 operad（有界、$L^p$、边界增长），并通过反例表明逐分量的 $L\log L$ 条件并不能保证复合下的封闭性。
英文摘要
We construct a symmetric operad $\mathfrak{C}$ on the class of all multivariate copulas, where operadic composition is given by Sklar substitution. We prove that the absolutely continuous subclass $\mathfrak{C}^{ac}$---which coincides with the $L^1$ class of copula densities---forms a suboperad; under composition, the density of the composite copula is given by the explicit Sklar substitution density formula $g(v)=ϕ\big(Ψ_1(v^{(1)}),\dots,Ψ_n(v^{(n)})\big)\prod_{k=1}^{n}ψ_{k}(v^{(k)})$. Furthermore, we show that copulas with finite copula entropy---identified with the $L\log L$ class of copula densities---are closed under substitution and hence constitute a suboperad $\mathfrak{C}^{L\log L}$. On this suboperad, copula entropy is strictly additive: $H(γ(Φ;Ψ_{1},\ldots,Ψ_{n}))=H(Φ)+\sum_{k=1}^{n}H(Ψ_{k})$.
CommentsFind mistakes. Copulas are not closed under composition
