AI 中文总结
本文提出新框架，将整数序列的随机性结果转化为算术结构一阶理论不可判定性的证明，应用于线性递推序列和欧拉函数等，得出多个理论不可判定。
AI 中文摘要
我们开发了一个新的框架，用于证明形如 $\langle \mathbb{N}; +, P \rangle$、$\langle \mathbb{N}; <, f \rangle$ 和 $\langle \mathbb{N}; +, f\rangle$ 的结构的一阶理论的不可判定性，其中 $P \subseteq \mathbb{N}$ 且 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$。该框架基于 Hieronymi 和 Schulz 最近的证明，即 $\langle \mathbb{N}; +, \{2^n \colon n \in \mathbb{N}\}, \{3^n \colon n \in \mathbb{N}\}\rangle$ 的一阶理论是不可判定的，并且能够将关于整数序列的各种随机性结果转化为不可判定性证明。我们将我们的方法应用于一大类整数线性递推序列以及各种特殊函数，特别证明了 $\langle \mathbb{N}; +, \{u_n \colon n \in \mathbb{N}\} \cap \mathbb{N}\rangle$、$\langle\mathbb{N}; <, n \mapsto \max\{0,u_n\}\rangle$ 和 $\langle \mathbb{N}; <, \phi\rangle$ 的一阶理论是不可判定的，其中 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 是任何具有恰好两个非重复主根且满足非退化假设的整数 LRS，而 $\phi$ 是欧拉函数。
英文摘要
We develop a new framework for proving the undecidability of first-order theories of structures of the form $\langle \mathbb{N}; +, P \rangle$, $\langle \mathbb{N}; <, f \rangle$, and $\langle \mathbb{N}; +, f\rangle$, where $P \subseteq \mathbb{N}$ and $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$. It is based on the recent proof of Hieronymi and Schulz that the first-order theory of $\langle \mathbb{N}; +, \{2^n \colon n \in \mathbb{N}\}, \{3^n \colon n \in \mathbb{N}\}\rangle$ is undecidable, and capable of transforming various randomness results about integer sequences into undecidability proofs. We apply our method to a large class of integer linear recurrence sequences, as well as various special functions, in particular showing that the first-order theories of $\langle \mathbb{N}; +, \{u_n \colon n \in \mathbb{N}\} \cap \mathbb{N}\rangle$, $\langle\mathbb{N}; <, n \mapsto \max\{0,u_n\}\rangle$, and $\langle \mathbb{N}; <, ϕ\rangle$ are undecidable, where $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ is any integer LRS with exactly two non-repeated dominant roots satisfying a non-degeneracy assumption, and $ϕ$ is Euler's totient function.
