AI 中文总结
本文证明了杨和陈定义的加权表示函数计数 $f_k(t)$ 渐近等价于 $2^t/t^{k/2}$，从而否定了其关于不同 $k$ 最终相等的猜想。
AI 中文摘要
设 $\mathbb N$ 表示非负整数集。对于整数 $k>1$ 和集合 $A\subseteq\mathbb N$，令 $R_{1,k}(A,n)$ 表示方程 $n=a_1+ka_2$（其中 $a_1,a_2\in A$）的解的个数。对于整数 $k>1$ 和 $t\ge1$，杨和陈定义 $f_k(t)$ 为满足对所有整数 $n\ge t$ 都有 $R_{1,k}(A,n)=R_{1,k}(\mathbb N\setminus A,n)$ 的集合 $A\subseteq\mathbb N$ 的个数，并询问对于任意整数 $k,l>1$，$f_k(t)$ 和 $f_l(t)$ 是否最终相等。我们证明 $f_k(t)\asymp_k \frac{2^t}{t^{k/2}}$，这给出了他们问题的否定答案。
英文摘要
Let $\mathbb N$ denote the set of nonnegative integers. For an integer $k>1$ and a set $A\subseteq\mathbb N$, let $R_{1,k}(A,n)$ denote the number of solutions of $n=a_1+ka_2$ with $a_1,a_2\in A$. For integers $k>1$ and $t\ge1$, Yang and Chen defined $f_k(t)$ to be the number of sets $A\subseteq\mathbb N$ for which \[ R_{1,k}(A,n)=R_{1,k}(\mathbb N\setminus A,n) \] for all integers $n\ge t$, and asked whether $f_k(t)$ and $f_l(t)$ are eventually equal for any integers $k,l>1$. We prove that \[ f_k(t)\asymp_k \frac{2^t}{t^{k/2}}, \] which gives a negative answer to their problem.
