小维度中的 Brown-Gerver-Ramsey 定理

中文摘要 AI 辅助

我们考虑在 $\mathbb{N}^k$ 中，使用标准单位基向量步长的无限游走，并避免 $t$ 个共线点，证明这些游走存在于 $(k,t) \in \{(6,3), (4,4), (3,7)\}$。特别地，我们对 $k = 3$ 的构造将 Lidbetter 先前得到的上界 $189$ 改进为 $7$。我们的结果还暗示了在小有限字母表上存在无限单词，这些单词是弱阿贝尔平方自由（分别地，弱阿贝尔立方自由，弱阿贝尔六次幂自由）的。

英文摘要

We consider infinite walks in $\mathbb{N}^k$ with standard unit basis vector steps that avoid $t$ collinear points, and show that these walks exist for $(k,t) \in \{(6,3), (4,4), (3,7)\}$. In particular, our construction for $k = 3$ improves the previous bound $189$, obtained by Lidbetter, to $7$. Our results also imply the existence of infinite words over small finite alphabets that are weakly abelian squarefree (resp., weakly abelian cubefree, weakly abelian 6th-power-free).

发表机构

• KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）
• University of Waterloo（滑铁卢大学）

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