发表机构
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
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本文证明了Sloane和Harwit于1976年提出的S-矩阵猜想，该猜想源于光谱学中的A-最优设计问题，通过结合奇数维变分迹不等式和偶数维Moore-Penrose逆的范围约束估计，确立了矩阵逆的Frobenius范数下界及其等号条件。
AI 中文摘要
$S$-矩阵猜想由Sloane和Harwit于1976年提出，其动机源于光谱学中出现的一个$A$-最优设计问题。该猜想断言：若$A$是元素位于$[0,1]$中的非奇异实$n\times n$矩阵，则$$\left\\|A^{-1}\right\\|_F\ge\frac{2n}{n+1}.$$ 此外，等号成立当且仅当$A$是$S$-矩阵。本文通过将奇数维中的变分迹不等式与偶数维中中心化矩阵的Moore--Penrose逆的锐利范围约束估计相结合，证明了该猜想。
英文摘要
The $S$-matrix conjecture was formulated by Sloane and Harwit in 1976, motivated by an $A$-optimal design problem arising in spectroscopy. It states that if $A$ is a nonsingular real $n\times n$ matrix whose entries lie in $[0,1]$, then $$\left\|A^{-1}\right\|_F\ge\frac{2n}{n+1}.$$ Moreover, equality holds if and only if $A$ is an $S$-matrix. In this paper, we prove the conjecture by combining a variational trace inequality in odd dimensions with a sharp range-constrained estimate for the Moore--Penrose inverse of a centered matrix in even dimensions.
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