高秩图的Kumjian--Pask代数的诱导表示与限制表示
Maximal tails,character fibres and induced modules for pullback Kumjian-Pask algebras
- Institute for Artificial Intelligence, University of Engineering and Technology, Vietnam National University（越南国立大学工程技术大学人工智能研究所）
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AI总结：
本文为高秩图的Kumjian--Pask代数建立了诱导与限制表示的统一理论，构造诱导函子并证明Frobenius互反律、传递性与交性质，获得新的简单性判据，并应用于分次模理论、Morita等价及代数谱三元组。
AI中文摘要：
本文发展了高秩图（$k$-图）上的Kumjian--Pask（KP）代数在含幺交换环~$R$上的诱导表示与限制表示的统一理论。在诱导方面，我们构造了两类诱导函子：一类来自顶点角代数$s_v\KP s_v$，另一类来自遗传饱和子图的KP代数，并证明了Frobenius互反律、分次相容性以及一个平坦性定理，该定理确立了域上的正合性。在限制方面，我们分析了从边界路径群胚$\mathcal{G}_\Lambda$的Steinberg代数到固定无限路径$x$处的迷向群$R[\mathcal{G}_{\Lambda,x}]$的群代数的限制，并建立了由周期性群$\Per(x)\leq\ZZ$控制的权空间分解。随后，我们证明了嵌套遗传子图的诱导传递性（一个Mackey型传递公式），并推导了诱导与限制沿边界路径的相互作用。我们给出了诱导模与限制模的交性质的完整证明，修正并加强了次数序论证以处理$\NN$上的偏序。获得了新的简单性判据，包括非周期情形下的一个双条件。该理论通过秩$1$--$3$的详细工作示例加以说明，其中包括一个双顶点秩$2$示例，并显式计算了模结构。还讨论了在分次模理论、遗传子图的Morita等价、$C^*(\Lambda)$的Rieffel诱导的代数对应以及代数谱三元组方面的应用。
英文摘要：
Let $f:\N^{k}\to\N^{\ell}$ be a surjective monoid homomorphism and let $Γ$ be a row-finite $\ell$-graph with no sources and finitely many vertices. We give an explicit graded isomorphism from the Kumjian--Pask algebra of the pullback $f^{*}Γ$ onto the tensor product of $\KP_{\K}(Γ)$ and the group algebra of the kernel of the group completion of $f$. When $Γ$ is strongly aperiodic, but need not be cofinal, every maximal tail $T$ and every maximal ideal $\mathfrak m$ of the kernel group algebra determine an explicit primitive ideal and primitive quotient. If, in addition, $\K$ is uncountable and algebraically closed, these ideals exhaust the primitive spectrum. We prove that the resulting parametrisation is a homeomorphism for the product of the maximal-tail and Zariski topologies. Each primitive ideal is realised as the annihilator of a simple module induced from the isotropy of a path which is cofinal in $T$, and the character fibres are algebraic tori. Two examples exhibit, respectively, a single character fibre and the non-Hausdorff gluing of two such fibres.
