众数附近的多项概率：整数众数与完整局部展开
Multinomial probabilities near the mode: integer modes and the complete local expansion
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本文研究多项分布概率在众数附近的性质，给出精确整数众数判据（Jefferson–D'Hondt分配），并推导概率关于N^{-1}的完整局部展开，系数为闭式伯努利多项式。
中文摘要 AI 辅助
设 $X\sim\text{Mult}(N;p_1,\dots,p_n)$，其中 $p_i>0$ 且 $\sum_ip_i=1$。我们从两个互补的视角研究格点 $m$ 在 $Np$ 附近时 $\Pr\{X=m\}$ 的性质。首先，我们给出一个精确的整数众数判据：多项分布的众数即为 Jefferson–D'Hondt 除数分配，当众数唯一时由 $m_i=\lfloor (N+d)p_i\rfloor$（$d\in[0,n)$）给出。对于 $n\ge3$，众数不必通过将每个 $Np_i$ 四舍五入到相邻整数得到；超出量 $m_i-\lceil Np_i\rceil$ 可以达到 $n-2$，因此标准参考文献中所述的双侧局部化 $|m_i-Np_i|<1$ 在一般情况下并不成立。其次，通过将质量表示为具有不等尺度的伽马商，我们推导出 $\Pr\{X=m\}$ 关于 $N^{-1}$ 的整数幂的完整局部展开，所有系数均以闭式伯努利多项式形式给出。该展开包含已知的 $O(N^{-1})$ 局部极限定理，在 $n=2$ 时退化为二项局部质量，在对称情形下退化为中心多项系数，并且允许振荡系数的 Cesàro 平均以闭式 $\zeta$ 值形式表示。
英文摘要
Let $X\sim\text{Mult}(N;p_1,\dots,p_n)$ with $p_i>0$ and $\sum_ip_i=1$. We study $\Pr\{X=m\}$ for lattice points near $Np$ from two complementary viewpoints. First, we give an exact integer-mode criterion: the multinomial mode is the Jefferson--D'Hondt divisor apportionment, given when the mode is unique by $m_i=\lfloor (N+d)p_i\rfloor$, $d\in[0,n)$. For $n\ge3$ the mode need not be obtained by rounding each $Np_i$ to a neighbouring integer; the excess $m_i-\lceil Np_i\rceil$ can reach $n-2$, so the two-sided localisation $|m_i-Np_i|<1$ stated in a standard reference is not valid in general. Second, by writing the mass as a gamma quotient with unequal scalings, we derive the complete local expansion of $\Pr\{X=m\}$ in integer powers of $N^{-1}$, with all coefficients in closed Bernoulli-polynomial form. The expansion contains the known $O(N^{-1})$ local limit theorem, reduces to the binomial local mass for $n=2$ and to the central multinomial coefficient in the symmetric case, and admits Cesàro averages of the oscillating coefficients in closed $ζ$-value form.
发表机构
- University of Zagreb（萨格勒布大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
