广义双曲分布及相关分布中位数的界
Bounds for the median of the generalized hyperbolic and related distributions
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- The University of Manchester（曼彻斯特大学）
- Université du Québec à Trois-Rivières（魁北克大学特鲁瓦里维埃分校）
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中文总结 AI 辅助
本文通过伽马和中位数的单调性及贝塞尔函数比界，为广义双曲、方差伽马和McKay I型分布建立了精确中位数界，解决了Gaunt和Merkle的五个猜想，并证明了正偏度参数下众数-中位数-均值不等式成立。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了形如 $Z_{\alpha} = \alpha X_1 + (2 - \alpha)X_2$ 的伽马和与伽马差的中位数的单调性性质，其中 $X_1$ 和 $X_2$ 是具有共同形状参数的独立伽马随机变量。通过将这些单调性性质与已知的伽马分布中位数的界相结合，我们建立了方差伽马分布和McKay I型分布中位数的精确界。此外，利用广义双曲分布的正态方差-均值混合表示以及第二类修正贝塞尔函数之比的界，我们获得了广义双曲分布中位数的精确界。因此，我们解决了Gaunt和Merkle (2021)的所有五个猜想。作为我们分析的副产品，我们证明了具有正偏度参数的方差伽马分布和McKay I型分布对所有容许参数值满足“众数-中位数-均值”不等式，并且具有正偏度参数的广义双曲分布也满足该不等式。
英文摘要
We prove monotonicity properties for medians of gamma sums and differences of the form $Z_α = αX_1 + (2 - α)X_2$, where $X_1$ and $X_2$ are independent gamma random variables with common shape parameter. By combining these monotonicity properties with known bounds for the median of the gamma distribution, we establish sharp bounds for the median of the variance-gamma and McKay Type I distributions. Also, by exploiting the normal variance-mean mixture representation of the generalized hyperbolic distribution together with bounds for a ratio of modified Bessel functions of the second kind, we obtain sharp bounds for the median of the generalized hyperbolic distribution. We thus resolve all five conjectures of Gaunt and Merkle (2021). As a by-product of our analysis, we show that the variance-gamma distributions with positive asymmetry parameter and the McKay Type I distributions satisfy the ``mode-median-mean'' inequality for all admissible parameter values, and that the same is true of the generalized hyperbolic distribution with positive asymmetry parameter.
