发表机构
Universitá degli Studi dell’Insubria（因苏布里亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文否证了Ruzsa关于和集密度的一个猜想，证明不存在常数使得下密度与上密度及渐近密度满足特定不等式。
AI 中文摘要
设 $\mathsf{d}$、$\mathsf{d}^{\ast}$ 和 $\mathsf{d}_{\ast}$ 分别表示 $\mathbb N$ 上的渐近密度、上渐近密度和下渐近密度。我们证明不存在常数 $0<\nu<1$ 和 $c>0$ 使得对于每个具有渐近密度的集合 $A\subseteq \mathbb{N}$，不等式 $\mathsf{d}_{\ast}(A+A)\ge c\bigl(\mathsf{d}^{\ast}(A+A)\bigr)^{1-\nu}\mathsf{d}(A)^{\nu}$ 成立。这否定了I.Z. Ruzsa的一个问题。
英文摘要
Let $\mathsf{d}$, $\mathsf{d}^{\ast}$, and $\mathsf{d}_{\ast}$ denote, respectively, the asymptotic density, the upper asymptotic density, and the lower asymptotic density on $\mathbb N$. We show that there are no constants $0<ν<1$ and $c>0$ such that $$ \mathsf{d}_{\ast}(A+A)\ge c\bigl(\mathsf{d}^{\ast}(A+A)\bigr)^{1-ν}\mathsf{d}(A)^ν $$ for every set $A\subseteq \mathbb{N}$ which admits asymptotic density. This answers in the negative a question of I.Z. Ruzsa.
