发表机构
Pie Mathematics Association（Pie数学协会）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究倒数二次有理函数的对数Mellin积分，证明其采样生成函数在除以π后为代数函数，并确定主例的最小四次曲线、微分方程及渐近性，揭示一个最大值控制采样半径与高对数矩。
AI 中文摘要
我们研究了与倒数二次有理函数相关的对数Mellin积分。当有理核具有代数系数时，一个完整形变的正整数采样具有生成函数，该生成函数在除以$\pi$后，对于所有满足$0<|a|<1$的$a\in\mathbb Q$都是代数的。对于主半权例子，我们确定了最小四次曲线、完整有限分支轨迹、最小微分方程、多项式递推关系以及系数渐近性。在整个鞍点区域$c>1$，$-2\sqrt c<b<0$中，对于实数$0<a<1$的正双曲公式给出了确定的Hausdorff矩序列、严格全正性以及单调商极限。对于实数$|a|<1$，在同一区域中的一般系数渐近性表明，一个最大值同时控制采样半径和高对数矩。在固定临界轨迹上，两项对角渐近性给出了归一化乘积趋于$\pi$的结果；除以显示的修正项$1+\gamma/M$后，得到$O(M^{-2})$的近似。
英文摘要
We study logarithmic Mellin integrals attached to a reciprocal quadratic rational function. When the rational kernel has algebraic coefficients, positive-integer samples of an entire deformation have a generating function which, after division by $π$, is algebraic for every $a\in\mathbb Q$ with $0<\vert{}a\vert{}<1$. For the principal half-weight example we determine the minimal quartic, complete finite branch locus, minimal differential equation, polynomial recurrence, and coefficient asymptotics. Throughout the saddle region $c>1$, $-2\sqrt c<b<0$, positive hyperbolic formulas for real $0<a<1$ give determinate Hausdorff moment sequences, strict total positivity, and monotone quotient limits. For real $\vert{}a\vert{}<1$, a general coefficient asymptotic in the same region shows that one maximum controls both the sampling radius and the high logarithmic moments. On the fixed-critical locus, two-term diagonal asymptotics give a normalized product tending to $π$; division by the displayed correction $1+γ/M$ gives an $O(M^{-2})$ approximation.
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