一般向量空间自同态的模型论 V：o-极小情形
Model Theory of Generic Vector Space Endomorphisms V: The o-Minimal Case
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中文总结 AI 辅助
本文研究向量空间自同态模型伴体在o-极小情形下的推广，构造了一族具有TP2、SOP和NATP性质的新理论，以及不同dp-秩的distal非o-极小理论。
中文摘要 AI 辅助
本文进一步研究作用在向量空间（可能带有额外结构）上的自同态的模型伴体。设 $T$ 是一个模型完备理论，其 $\varnothing$-定义了一个无限 $K$-向量空间 $\mathbb{V}$。在之前的工作中，我们引入了一族理论 $\{T^C_\theta: C \in \mathcal{C}\}$，它们是理论 $T_\theta:= T \cup \{\text{“$\theta$ 是 $\mathbb{V}$ 的自同态”}\}$ 的扩张，参数化了所有形如 $$ T_\theta \cup \left\{\sum\nolimits_{k}\bigcap\nolimits_{l}\operatorname{Ker}(\rho_{j, k, l}[\theta]) = \sum\nolimits_{k}\bigcap\nolimits_{l} \operatorname{Ker}(\eta_{j, k, l}[\theta]): j \in \mathcal{J}\right\}, $$ 的一致扩张，其中所有求和与交集都是有限的，所有 $\rho[\theta]$ 和 $\eta[\theta]$ 都是将 $\theta$ 代入的 $K$ 上的多项式，而 $\mathcal{J}$ 是某个可能无限的指标集。我们还给出了一个充分条件，该条件蕴含每个 $T^C_\theta$ 都有模型伴体 $T\theta^C$。在本文中，我们研究 $T$ 是有序群理论的 o-极小扩张的情形。如此，我们得到了一族新的理论，它们具有 $\operatorname{TP}_2$ 和 $\operatorname{SOP}$ 性质，并且是 $\operatorname{NATP}$ 的，同时还有具有各种 $\operatorname{dp}$-秩（带或不带交换性质）的 distal 非 o-极小理论。
英文摘要
This paper further studies the model companion of an endomorphism acting on a vector space, possibly with extra structure. Let $T$ be a model-complete theory that $\varnothing$-defines an infinite $K$-vector space $\mathbb{V}$. In previous work, we introduced a family $\{T^C_θ: C \in \mathcal{C}\}$ of extensions of the theory $T_θ:= T \cup \{\text{``$θ$ is an endomorphism of $\mathbb{V}$''}\}$ that parameterizes all consistent extensions of the form $$ T_θ\cup \left\{\sum\nolimits_{k}\bigcap\nolimits_{l}\operatorname{Ker}(ρ_{j, k, l}[θ]) = \sum\nolimits_{k}\bigcap\nolimits_{l} \operatorname{Ker}(η_{j, k, l}[θ]) : j \in \mathcal{J}\right\}, $$ where all sums and intersections are finite, all the $ρ[θ]$'s and $η[θ]$'s are polynomials over $K$ with $θ$ plugged in, and $\mathcal{J}$ is some possibly infinite index set. We also presented a sufficient condition that implies that every $T^C_θ$ has a model companion $Tθ^C$. In this paper, we study the case where $T$ is an o-minimal expansion of the theory of ordered groups. Doing so, we obtain a new family of theories that have $\operatorname{TP}_2$ and $\operatorname{SOP}$, and are $\operatorname{NATP}$, as well as distal non-o-minimal theories of various $\operatorname{dp}$-ranks with and without the exchange property.
