发表机构
Pohang University of Science and Technology (POSTECH); Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（浦项科技大学; 韩国高等科学研究院）
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本文研究一维抛物型Anderson模型空间积分的长时极限，建立了弱大数定律、中心极限定理及稳定极限定律，并给出关键谱结果。
AI 中文摘要
我们考虑抛物型Anderson模型 $\partial_t u=\partial_x^2 u+\xi u$，定义在 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ 上，初始条件为 $u(0,\cdot)\equiv 1$，其中 $\xi$ 是空间白噪声。我们研究空间积分 $U(t):=\int_{-L(t)/2}^{L(t)/2}u(t,x)\\,dx$ 的长时间行为，其中 $L(t)=\exp(\alpha^3 t^3/24)$ 且 $\alpha>0$。我们建立了 $\alpha>1$ 时的弱大数定律以及 $\alpha>2$ 时的中心极限定理。此外，对于每个 $\alpha\in(0,2)$，我们证明 $U(t)$ 在经过显式的中心化和缩放后，依分布收敛到一个完全非对称的 $\alpha$-稳定分布。据我们所知，这些是连续抛物型Anderson模型的首个稳定极限定律。另外，我们建立了关于增长区间上的一维Anderson哈密顿量的两个具有独立意义的谱结果。它们是证明的主要工具。第一个给出了最低特征值的下尾渐近行为，包括精确的前置因子。第二个表明，在这个下尾事件上，相应特征函数的 $L^1$ 范数集中在一个显式的确定值附近。
英文摘要
We consider the parabolic Anderson model $\partial_t u=\partial_x^2 u+ξu$ on $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ with $u(0,\cdot)\equiv 1$, where $ξ$ is a spatial white noise. We study the long-time behavior of the spatial integral $U(t):=\int_{-L(t)/2}^{L(t)/2}u(t,x)\,dx$, where $L(t)=\exp(α^3 t^3/24)$ with $α>0$. We establish a weak law of large numbers for $α>1$ and a central limit theorem for $α>2$. Moreover, for every $α\in(0,2)$, we show that $U(t)$ converges in distribution, after explicit centering and scaling, to a totally asymmetric $α$-stable law. To the best of our knowledge, these are the first stable limit laws for the continuous parabolic Anderson model. In addition, we establish two spectral results of independent interest for the one-dimensional Anderson Hamiltonian on a growing interval. They are the main ingredients of the proofs. The first gives the lower-tail asymptotics of the lowest eigenvalue, including the exact prefactor. The second shows that, on this lower-tail event, the $L^1$ norm of the corresponding eigenfunction concentrates around an explicit deterministic value.
Comments50 pages, 2 figures
