发表机构
Northwest University（西北大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文为 $S_7$ 的完全与非空幂半环给出显式无限等式基，证明其非有限基，并建立新充分条件，进而证明相关簇区间基数为连续统。
AI 中文摘要
对每个半群 $S$，$S$ 的所有子集的集合 $\mathcal{P}(S)$ 和 $S$ 的所有非空子集的集合 $\mathcal{P}^{+}(S)$ 在集合论并和逐元素乘法下构成加法幂等半环，分别称为 $S$ 的完全幂半环和非空幂半环。我们研究 $S_7$ 的乘法归约的完全幂半环 $\mathcal{P}(S_7)$ 和非空幂半环 $\mathcal{P}^{+}(S_7)$ 的有限基问题，其中 $S_7$ 是唯一非有限基的三元素加法幂等半环。我们为两者提供显式的无限等式基，并证明它们是非有限基的。对于 $\mathcal{P}^{+}(S_7)$，我们建立了加法幂等半环非有限基的一个新的充分条件，并应用它得到所需结果。此外，我们证明在加法幂等半环簇格中区间 $[\mathsf{V}(\mathcal{P}^{+}(S_7)), \mathsf{V}(\mathcal{P}(S_7))]$ 具有连续统的基数。
英文摘要
For every semigroup $S$, the set $\mathcal{P}(S)$ of all subsets of $S$ and the set $\mathcal{P}^{+}(S)$ of all nonempty subsets of $S$ form additively idempotent semirings under set-theoretic union and elementwise multiplication, called the full and nonempty power semirings of $S$, respectively. We investigate the finite basis problem for the full and nonempty power semirings $\mathcal{P}(S_7)$ and $\mathcal{P}^{+}(S_7)$ of the multiplicative reduct of $S_7$, where $S_7$ is the unique nonfinitely based three-element additively idempotent semiring. We provide explicit infinite equational bases for both and prove that they are nonfinitely based. For $\mathcal{P}^{+}(S_7)$, we establish a new sufficient condition for an additively idempotent semiring to be nonfinitely based and apply it to obtain the required result. Moreover, we show that the interval $[\mathsf{V}(\mathcal{P}^{+}(S_7)), \mathsf{V}(\mathcal{P}(S_7))]$ in the lattice of additively idempotent semiring varieties has the cardinality of the continuum.
