加权Bergman空间上的倒数问题
The Reciprocal Problem on Weighted Bergman Spaces
- Guangzhou University（广州大学）
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AI总结：
本文研究了加权Bergman空间上的倒数问题，建立了充分条件，解决了三维Drury--Arveson空间中的该问题，并给出了四维情形的等价条件。
AI中文摘要：
加权Bergman空间上的倒数问题已被作为一个开放问题提出。本文建立了倒数性质的若干充分条件，并阐明了现有方法适用的参数范围。特别地，我们证明了在所需解析Besov复合定理可用的参数范围内，$A_\alpha^p\cap H^\infty$中的函数具有倒数性质。此外，利用Hardy边界估计，我们解决了维度$d=3$时Drury--Arveson空间$H_d^2$中的倒数问题，并给出了四维Drury--Arveson空间中倒数问题的等价条件。
英文摘要：
We study the reciprocal problem for weighted Bergman spaces: if $f\in A_α^p(\Bn)$ and $\inf_{\Bn}|f|>0$, does it follow that $1/f\in A_α^p(\Bn)$? We determine the range of parameters for which the answer is affirmative. In particular, we prove that functions in $A_α^p(\D)$ have the reciprocal property for all $α\in \R$ and $p\geq 1,$ where $\D$ denotes the unit disk in $\C.$ Moreover, functions in $A_α^p(\Bn)$ have the reciprocal property for all $α\in \R$ when $n=2$ and $p=2.$ In addition, we resolve the reciprocal problem in the three-dimensional Drury--Arveson space $H_3^2$ and obtain an equivalent condition in the four-dimensional space $H_4^2$. We also settle the reciprocal problem for general $A_α^p(\Bn)$ under some additional conditions.
