曲率算子下界条件下的总数量曲率
Total scalar curvature under a curvature operator lower bound
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中文总结 AI 辅助
本文证明在曲率算子不低于单位球面的完备单连通黎曼流形上，总数量曲率不超过 $n(n-1)\omega_n$，等号仅对单位球面成立，并给出含体积的更强界。
中文摘要 AI 辅助
设 $(M^{n}, g)$ 为无边界、完备且单连通的 $n$ 维黎曼流形，其中 $n\ge3$，其曲率算子至少不小于单位球面的曲率算子。我们证明 $$\int_M {\rm scal}(x)\\ d {\rm Vol}_x\le n(n-1)\omega_n,$$ 其中 $\omega_n$ 是单位 $n$ 维球面的体积。等号成立当且仅当 $(M,g)$ 等距于单位标准球面。事实上，我们得到了一个包含 ${\rm Vol}(M, g)$ 的更强界。在偶数维情形，证明基于 Chern-Gauss-Bonnet 公式；在奇数维情形，我们将相应的边界公式应用于 Deruelle 的 Ricci 扩张子填充。
英文摘要
Let $(M^{n}, g)$ be a complete, simply connected Riemannian manifold without boundary, of dimension $n\ge3$, with curvature operator at least that of the unit sphere. We prove that $$\int_M {\rm scal}(x)\ d {\rm Vol}_x\le n(n-1)ω_n,$$ where $ω_n$ is the volume of the unit $n$-sphere. Equality holds if and only if $(M,g)$ is isometric to the unit round sphere. In fact, we obtain a stronger bound containing ${\rm Vol}(M, g)$. In even dimensions, the proof follows from the Chern-Gauss-Bonnet formula. In odd dimensions, we apply the corresponding boundary formula to Deruelle's Ricci expander filling.
发表机构
- Beijing Normal University（北京师范大学）
- Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）
- Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）
- Nanjing University of Information Science and Technology（南京信息工程大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
