AI 中文总结
本文针对 Kadison-Singer 问题，提出了两种多项式时间算法，分别以确定性（C=3.3443）和随机化（C=4.8628）方式构造满足范数约束的符号或划分，解决了该问题的计算可行性。
AI 中文摘要
Marcus、Spielman 和 Srivastava [MSS15] 证明了 Kadison-Singer 划分的存在性。我们为 Kadison-Singer 问题提供了多项式时间算法。对于秩至多为一的 Hermitian 矩阵 $A_1,\ldots,A_m\in\mathbb C^{n\times n}$，我们给出两种算法来找到满足 $\\|\sum_i \sigma_iA_i\\|\le C\\|\sum_i A_i^2\\|^{1/2}$ 的符号 $\sigma\in\{\pm1\}^m$。确定性算法使用 $\widetilde O(mn^2+n^{56})$ 次算术运算达到 $C=3.3443$。随机化算法在期望中使用 $\widetilde O(mn^2+n^{5.88})$ 次算术运算达到 $C=4.8628$。对于满足 $\sum_i a_ia_i^*=I$ 且 $\\|a_i\\|^2\le\alpha$ 的向量，这些算法产生满足 $\\|\sum_{i\in I_j}a_ia_i^*-I/2\\|\le (C/2)\sqrt\alpha$（对 $j=1,2$）的划分 $[m]=I_1\cup I_2$。
英文摘要
Marcus, Spielman, and Srivastava [MSS15] established the existence of Kadison--Singer partitions. We provide polynomial-time algorithms for the Kadison--Singer problem. For Hermitian matrices $A_1,\ldots,A_m\in\mathbb C^{n\times n}$ of rank at most one, we give two algorithms that find signs $σ\in\{\pm1\}^m$ satisfying $\|\sum_i σ_iA_i\|\le C\|\sum_i A_i^2\|^{1/2}$. The deterministic algorithm achieves $C=3.3443$ using $\widetilde O(mn^2+n^{4.75})$ arithmetic operations. The randomized algorithm achieves $C=4.8628$ using $\widetilde O(mn^2+n^{3.58})$ arithmetic operations in expectation. For vectors satisfying $\sum_i a_ia_i^*=I$ and $\|a_i\|^2\leα$, the algorithms yield partitions $[m]=I_1\cup I_2$ satisfying $\|\sum_{i\in I_j}a_ia_i^*-I/2\|\le (C/2)\sqrtα$ for $j=1,2$.
