广义Cesàro算子在Hardy空间之间的完全映射准则

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设 $\mu$ 为 $[0,1)$ 上的有限正 Borel 测度，且 $\gamma>0$。我们建立了广义 Cesàro 算子 \begin{equation*} \mathcal C_{\mu,\gamma}f(z) =\sum_{n=0}^\infty \mu_n \left(\sum_{k=0}^n \frac{\Gamma(n-k+\gamma)}{\Gamma(\gamma)(n-k)!}a_k\right)z^n,\qquad z\in \mathbb{D},\end{equation*} 在 Hardy 空间之间（包括源空间和目标空间 $H^\infty$ 端点）的精确映射准则。对于 $0<p<q<\infty$，对于 $0<p=q<1$，以及对于 $0<p\le1$ 且 $q=\infty$，$ \mathcal C_{\mu,\gamma}: H^p \to H^q$ 的有界性等价于 $\mu$ 是 $ (\gamma+1/p-1/q)$-Carleson 测度，且对 $\gamma$ 无进一步限制。对于 $1\le q<p\le\infty$，令 $1/r=1/q-1/p$。在此范围内，有界性和紧性等价于 \\[ \int_0^1 \left(\frac{\mu([t,1))}{(1-t)^{\gamma-1/r}}\right)^r \frac{dt}{1-t}<\infty. \\] 该条件也等价于 $F_{\mu,\gamma}\in H^r$ 以及 $\sum_{n\ge0}(n+1)^{r\gamma-2}\mu_n^r<\infty$，其中 $F_{\mu,\alpha}=\mathcal C_{\mu,\alpha}(1)$ 且 $\mu_n=\int_{[0,1)}t^n\\,d\mu(t)$。对于 $1<p<\infty$，从 $H^p$ 到 $H^\infty$ 的有界性和紧性由移位条件 $F_{\mu,\gamma+1}\in H^{p'}$ 刻画，其中 $p'=p/(p-1)$。因此，我们获得了广义 Cesàro 算子 $\mathcal C_{\mu,\gamma}$ 在 Hardy 空间 $H^p$ 和 $H^q$ 之间对于完整范围 $0<p,q\le\infty$ 的完全有界性分类。

英文摘要

Let $μ$ be a finite positive Borel measure on $[0,1)$ and let $γ>0$. We establish sharp mapping criteria for the generalized Cesàro operator \begin{equation*} \mathcal C_{μ,γ}f(z) =\sum_{n=0}^\infty μ_n \left(\sum_{k=0}^n \frac{Γ(n-k+γ)}{Γ(γ)(n-k)!}a_k\right)z^n,\qquad z\in \mathbb{D},\end{equation*} between Hardy spaces, including the source and target $H^\infty$ endpoints. For $0<p<q<\infty$, for $0<p=q<1$, and for $0<p\le1$ with $q=\infty$, the boundedness of $ \mathcal C_{μ,γ}: H^p \to H^q$ is equivalent to $μ$ being a $(γ+1/p-1/q)$-Carleson measure, without further restrictions on $γ$. For $1\le q<p\le\infty$, set $1/r=1/q-1/p$. In this range, boundedness and compactness are equivalent to \[ \int_0^1 \left(\frac{μ([t,1))}{(1-t)^{γ-1/r}}\right)^r \frac{dt}{1-t}<\infty. \] This condition is also equivalent to $F_{μ,γ}\in H^r$ and to $\sum_{n\ge0}(n+1)^{rγ-2}μ_n^r<\infty$, where $F_{μ,α}=\mathcal C_{μ,α}(1)$ and $μ_n=\int_{[0,1)}t^n\,dμ(t)$. For $1<p<\infty$, boundedness and compactness from $H^p$ to $H^\infty$ are characterized by the shifted condition $F_{μ,γ+1}\in H^{p'}$, where $p'=p/(p-1)$. We therefore obtain a complete boundedness classification of the generalized Cesàro operators $\mathcal C_{μ,γ}$ between Hardy spaces $H^p$ and $H^q$ for the full range $0<p,q\le\infty$.

发表机构

• School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Science and Technology（湖南科技大学数学与统计学院）
• School of Financial Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance（广东金融学院金融数学与统计学院）

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