有界集合的Beck--Fiala问题的改进算法
Improved Algorithms for Beck--Fiala with Bounded Sets
- University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
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AI总结：
针对有界集合的离线Beck--Fiala问题，提出高效算法，利用Bansal-Jiang算法的自举方案，在任意稀疏度下达到$O(\sqrt d(1+\log^*n))$差异，并在$d$较大时改进为$O_j(\sqrt d)$。
AI中文摘要：
我们针对集合大小有界的（离线）Beck--Fiala问题，给出一个具有改进算法保证的高效算法。设$A$为任意矩阵$A\in\{0,1\}^{m\times n}$，其每列至多有$d$个1，每行至多有$s$个1。令$\log^*$表示迭代对数，$\ell_j$表示$\log$的$j$次复合。假设$s\le\exp(O(\sqrt d))$。我们提供一个高效算法，对于任意稀疏度$d$，给出$O(\sqrt d(1+\log^*n))$的差异（discrepancy）。此外，若对于某个固定整数$j\ge1$有$d\ge\ell_j(n)$，该算法给出$O_j(\sqrt d)$的差异。证明是使用Bansal-Jiang算法的自举（bootstrapping）方案。
英文摘要：
We give an efficient algorithm with improved algorithmic guarantees for the (offline) Beck--Fiala problem when the sets have bounded size. Let $A$ be an arbitrary matrix $A\in\{0,1\}^{m\times n}$ with at most $d$ ones per column and at most $s$ ones per row. Let $\log^*$ denote the iterated logarithm and $\ell_j$ denote the $j$-fold composition of log. Assume $s\le\exp(O(\sqrt d))$. We provide an efficient algorithm that, for arbitrary sparsity $d$, gives $O(\sqrt d(1+\log^*n))$ discrepancy. Moreover, if $d\ge\ell_j(n)$ for a fixed integer $j\ge1$, the algorithm gives $O_j(\sqrt d)$ discrepancy. The proof is a bootstrapping scheme using the Bansal-Jiang algorithm.
