发表机构
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过直接归约证明 $k$-SetCover 的 $\log n/\log\log n$ 近似是 W[1]-难且无 ETH 下 $n^{o(k/\log k)}$ 算法，消除了指数中 $1/k$ 差距，达到几乎最优的 FPT 不可近似性。
AI 中文摘要
我们证明 $\bigl(\frac{\log n}{\log\log n}\bigr)$-近似的参数化 $k$-SetCover 是 W[1]-难的，并且在 ETH 下没有 $n^{o(k/\log k)}$ 时间的算法。这改进了 (Lin, 2019) 中的先前最佳因子 $\bigl(\frac{\log n}{\log\log n}\bigr)^{1/k}$ 和 (Karthik, Laekhanukit, and Manurangsi, 2019) 中的 $(\log n)^{1/\operatorname{poly}(k)}$。这里 $k$ 是“是”情况下的保证，$n$ 是候选集合的数量。虽然通过贪心算法最佳近似比仍然是 $O(\log n)$，但缩小指数中的这个 $1/k$ 差距一直是一个长期未解决的问题；我们通过一个简单的直接归约消除了这个损失。该构造是自包含的，不依赖于参数化不可近似性假设 (PIH)。从稀疏参数化 2-CSP 实例 (Karthik, Marx, Pilipczuk, and Souza, 2024) 出发，我们构建一个单调 CNF 公式，它等价于一个 SetCover 实例。为了获得 $k$-versus-$h$ 的差距，该归约枚举从 $\Sigma$ 到 $[2h]$ 的所有哈希函数，以及在同一约束图上具有字母表 $[2h]$ 的所有不可满足的 2-CSP 实例。对于每个这样的实例，它要求一个证书，证明哈希后的标签对并非全部包含在该实例中。完美哈希使得这种枚举对于 $h=\log n/\log\log n$ 是高效的。
英文摘要
We show that $\bigl(\frac{\log n}{\log\log n}\bigr)$-approximate parameterized $k$-SetCover is W[1]-hard, and has no $n^{o(k/\log k)}$-time algorithms under ETH. This improves upon the previous best factors $\bigl(\frac{\log n}{\log\log n}\bigr)^{1/k}$ in (Lin, 2019) and $(\log n)^{1/\operatorname{poly}(k)}$ in (Karthik, Laekhanukit, and Manurangsi, 2019). Here $k$ is the yes-case guarantee and $n$ is the number of candidate sets. While the best approximation ratio is still $O(\log n)$ via the greedy algorithm, closing this $1/k$ gap in the exponent has been a longstanding open problem; we remove this loss via a simple direct reduction. The construction is self-contained and does not rely on the parameterized inapproximability hypothesis (PIH). Starting with sparse parameterized 2-CSP instances (Karthik, Marx, Pilipczuk, and Souza, 2024), we build a monotone CNF formula, which is equivalent to a SetCover instance. To obtain a $k$-versus-$h$ gap, the reduction enumerates all hash functions from $Σ$ to $[2h]$ and all unsatisfiable 2-CSP instances on the same constraint graph with alphabet $[2h]$. For each such instance, it asks for a certificate that the hashed label pairs are not all contained in that instance. Perfect hashing makes this enumeration efficient for $h=\log n/\log\log n$.
