发表机构
Nanjing University（南京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明参数化集合覆盖在目标覆盖大小参数下具有近对数不可近似性，即使在指数时间假说和强指数时间假说下，也排除了高效近似算法，揭示了该问题的固有计算困难。
AI 中文摘要
我们研究以目标覆盖大小 $k$ 为参数的 \textnormal{\textsc{Set Cover}} 的可近似性。设 $n$ 为全集大小，$m$ 为可用集合的数量，$|\Gamma|$ 为显式输入长度。我们证明，对于某个绝对常数 $c>0$，区分 \\[ \operatorname{opt}(\Gamma)\le k \quad\text{与}\quad \operatorname{opt}(\Gamma)>k\cdot\frac{c\log n}{k^2\log\log n} \\] 是 $\mathsf{W[1]}$-困难的。假设指数时间假说成立，还存在一个绝对常数 $\varepsilon>0$，使得对于任何可计算函数 $f$，没有确定性算法能在时间 $f(k)|\Gamma|^{\varepsilon k}$ 内解决该间隙问题。对于每个固定的 $\alpha>0$，即使当 $n=O((\log m)^{1+\alpha})$ 时，上述两个困难性结果仍然成立，且常数允许依赖于 $\alpha$。对于固定的 $k$，该间隙在贪婪算法保证的 $O_k(\log\log n)$ 因子之内。在强指数时间假说下，我们进一步排除了对于每个固定的 $k\ge 2$ 和 $\delta>0$，在时间 $O(|\Gamma|^{k-\delta})$ 内实现 $o(\log n/\log\log n)$ 近似的可能性。因此，即使当指数仅从穷举搜索减少一个固定常数时，近对数困难性因子仍然存在。该 SETH 困难性因子中的常数可能依赖于 $k$ 和 $\delta$。
英文摘要
We study the approximability of \textnormal{\textsc{Set Cover}} parameterized by the target cover size $k$. Let $n$ be the universe size, $m$ the number of available sets, and $|Γ|$ the explicit input length. We prove that, for some absolute constant $c>0$, distinguishing \[ \operatorname{opt}(Γ)\le k \quad\text{from}\quad \operatorname{opt}(Γ)>k\cdot\frac{c\log n}{k^2\log\log n} \] is $\mathsf{W[1]}$-hard. Assuming the Exponential Time Hypothesis, there is also an absolute constant $\varepsilon>0$ for which no deterministic algorithm solves this gap problem in time $f(k)|Γ|^{\varepsilon k}$, for any computable function $f$. For every fixed $α>0$, both hardness results hold even when $n=O((\log m)^{1+α})$, with constants allowed to depend on $α$. For fixed $k$, the gap is within an $O_k(\log\log n)$ factor of the greedy algorithm's guarantee. Under the Strong Exponential Time Hypothesis, we further rule out $o(\log n/\log\log n)$ approximation in time $O(|Γ|^{k-δ})$ for every fixed $k\ge 2$ and $δ>0$. Thus a near-logarithmic hardness factor persists even when the exponent is reduced from exhaustive search by only a fixed constant. The constant in this SETH hardness factor may depend on $k$ and $δ$.
