一类不被 Hermitian 曲线覆盖的新极大曲线族
A new family of maximal curves not covered by the Hermitian curve
- University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
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AI总结：
本文构造了一类新的极大曲线族，并证明其不被 Hermitian 曲线覆盖，同时推广了 Beelen--Montanucci 曲线的相关结果，给出了亏格计算和自同构子群。
AI中文摘要：
对于每个素数幂 $q>2$ 和每个偶数 $n\ge4$，我们构造了一个亏格为 $(q^2-1)q^n/2$ 的 $\mathbb{F}_{q^{2n}}$-极大曲线，该曲线不被 $\mathbb{F}_{q^{2n}}$ 上的 Hermitian 曲线覆盖。当 $n\ge3$ 为奇数时，定义方程也给出了 Beelen--Montanucci 曲线的 Kummer 模型。我们计算了奇数与偶数 $n$ 的亏格，并通过计数有理点给出了极大性的统一证明。对于 $q>2$ 和奇数 $n\ge5$，我们还证明了 Beelen--Montanucci 曲线不被 Hermitian 曲线覆盖，推广了已知的 Galois 覆盖结果。对于每个素数幂 $q$ 和 $n\ge4$，我们还给出了一个阶为 $(q^n+1)q(q^2-1)$ 的显式自同构子群。
英文摘要：
For every prime power $q>2$ and every even integer $n\ge4$, we construct an $\mathbb{F}_{q^{2n}}$-maximal curve of genus $(q^2-1)q^n/2$ that is not covered by the Hermitian curve over $\mathbb{F}_{q^{2n}}$. The defining equation also gives a Kummer model for the Beelen--Montanucci curves when $n\ge3$ is odd. We compute the genus for both odd and even $n$ and give a uniform proof of maximality by counting rational places. For $q>2$ and odd $n\ge5$, we also prove that the Beelen--Montanucci curves are not covered by the Hermitian curve, extending the known result for Galois coverings. For every prime power $q$ and $n\ge4$, we also give an explicit automorphism subgroup of order $(q^n+1)q(q^2-1)$.
