任意余维数中具有正常数量曲率和\\(S\le 1\\)的完备自收缩子
Complete Self-Shrinkers in Arbitrary Codimension with Positive Constant Scalar Curvature and $S\le 1$
- School of Mathematics, Yunnan Normal University（云南师范大学数学学院）
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AI总结：
本文证明任意余维数中具有正常数量曲率且第二基本形式平方范数不超过1的完备自收缩子必为球面或广义柱面，排除了新的高余维数例子。
AI中文摘要：
设\\(X:M^n\to\mathbb R^{n+p}\\)是任意余维数\\(p\ge 1\\)中的\\(n\\)维完备自收缩子。假设数量曲率\\(R\\)为正常数，且第二基本形式的平方范数\\(S\\)满足\\(S\le 1\\)。我们证明\\(S\equiv 1\\)，且\\(X\\)等距于球面\\(S^n(\sqrt n)\\)或标准广义柱面\\(S^k(\sqrt k)\times\mathbb R^{n-k}\\)，其中\\(2\le k\le n-1\\)。特别地，在这些假设下不会出现新的高余维数例子。证明使用了一个代数引理，该引理为Bakry--Émery Ricci曲率提供了统一的正下界，并结合了Wei--Wylie的比较定理、Cheng--Zhou关于有限高斯体积与多项式体积增长等价性的结果，以及Cao--Li的间隙定理。
英文摘要：
Let \(X:M^n\to\mathbb R^{n+p}\) be an \(n\)-dimensional complete self-shrinker in arbitrary codimension \(p\ge 1\). Suppose that the scalar curvature \(R\) is a positive constant and that the squared norm \(S\) of the second fundamental form satisfies \(S\le 1\). We prove that \(S\equiv 1\) and that \(X\) is isometric to either the round sphere \(S^n(\sqrt n)\) or the standard generalized cylinder \(S^k(\sqrt k)\times\mathbb R^{n-k}\), \(2\le k\le n-1\). In particular, no new higher-codimension examples occur under these assumptions. The proof uses an algebraic lemma which yields a uniform positive lower bound for the Bakry--Émery Ricci curvature, together with the comparison theorem of Wei--Wylie, the equivalence of finite Gaussian volume and polynomial volume growth due to Cheng--Zhou, and the gap theorem of Cao--Li.
