射影辛空间中包含对合锥的超曲面
Hypersurfaces containing involutive cones in projective symplectic spaces
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中文总结 AI 辅助
该研究刻画了射影辛空间中包含对合锥的超曲面，通过关联空间和 Segre 类积分计算关联次数，并给出了双有理性的充分判据及特殊维数下的闭式公式。
中文摘要 AI 辅助
设 $V$ 为复辛向量空间，$\nmathbb{P}(V)$ 携带诱导的接触结构和辛极性。我们研究包含支撑在超平面上的余维二锥的超曲面的轨迹。出发点是以下刻画：射影子簇 $X\subset\mathbb{P}(V)$ 是超平面 $H$ 中次数至少为二的超曲面，当且仅当它是一个锥，其顶点包含极点 $\sigma(H)$ 时，$X$ 是对合的。我们给出简短证明，构造相应的关联空间，计算其维数，并将关联次数表示为 Segre 类积分。在 $\mathbb{P}^3$ 中，对于所有 $d\ge m\ge 2$ 除 $(m,d)=(2,2)$ 外，关联映射是双有理的，在 $\mathbb{P}^5$ 中同样成立；二次情形在每个维数中都是例外的，在 $\mathbb{P}^{2n-1}$ 中关联次数的一般次数为 $2n$。我们还给出了高维双有理性的充分判据、$\mathbb{P}^3$ 中的闭式公式和 $\mathbb{P}^5$ 中的系数公式。对于 $\mathbb{P}^5$ 中的二次锥，次数是平移二项式因子与一个次数为 36 的不可约多项式的乘积，我们解释了平移因子的来源。
英文摘要
Let $V$ be a complex symplectic vector space and let $\mathbb{P}(V)$ carry the induced contact structure and symplectic polarity. We study the loci of hypersurfaces containing codimension-two cones supported on hyperplanes. The starting point is the following characterization: a projective subvariety $X\subset\mathbb{P}(V)$ which is a hypersurface of degree at least two in a hyperplane $H$ is involutive if and only if it is a cone whose vertex contains the polar point $σ(H)$. We give a short proof, construct the corresponding incidence spaces, compute their dimensions and express the incidence degrees as Segre-class integrals. In $\mathbb{P}^3$ the incidence map is birational for every $d\ge m\ge 2$ except $(m,d)=(2,2)$, and the same holds in $\mathbb{P}^5$; the quadratic case is exceptional in every dimension, the incidence having generic degree $2n$ in $\mathbb{P}^{2n-1}$. We also give a sufficient criterion for birationality in higher dimension, closed formulas in $\mathbb{P}^3$ and coefficient formulas in $\mathbb{P}^5$. For quadric cones in $\mathbb{P}^5$ the degree is the product of shifted binomial factors and an irreducible polynomial of degree 36, and we explain where the shifted factors come from.
发表机构
- Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西联邦农村大学）
- Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西联邦农村大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
