发表机构
Indian Institute of Technology (IIT) Bombay（印度理工学院孟买分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究偶有理窗函数的Gabor框架性质，证明了低密度格点生成框架并给出额外框架区域，构造了特定双曲线上的非框架点，并通过矩阵对称约化揭示非框架障碍的丰富结构。
AI 中文摘要
我们研究了有理窗函数 $$ g(x)=\frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)} $$ 的Gabor框架性质，其极点成对对称出现。我们证明了满足 $0<\alpha\beta<1/3$ 的每个格点都能生成框架，并针对 $\beta\ge1$ 且 $1/3\le \alpha\beta<0.47373$ 的情形建立了额外的框架区域。此外，我们证明了对于 $p\ge2$，有理双曲线 $\alpha\beta=\frac{p}{3p-1}$ 完全包含在框架集合中。相反，我们在双曲线 $$\alpha\beta\in\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right\}$$ 上构造了明确的非框架格点。最后，对于密度族 $\alpha\beta=p/(p+1)$，我们推导了相关的Zibulski-Zeevi矩阵的对称约化，为更丰富的非框架障碍结构提供了数值证据。
英文摘要
We study the Gabor frame properties of the rational window $$ g(x)=\frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)}, $$ whose poles occur in symmetric pairs. We prove that every lattice satisfying $0<αβ<1/3$ generates a frame, and we establish an additional frame region for $β\ge1$ and $1/3\le αβ<0.47373$. Furthermore, we show that the rational hyperbolas $αβ=\frac{p}{3p-1}$, for $p\ge2,$ are entirely contained within the frame set. In contrast, we construct explicit non-frame lattice points on the hyperbolas $$αβ\in\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right\}.$$ Finally, for the density family $αβ=p/(p+1)$, we derive a symmetry reduction of the associated Zibulski-Zeevi matrix, providing numerical evidence for a richer structure of non-frame obstructions.
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