完全 Bernstein 函数与缩放超球多项式零点

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设 $z_{n,j}(\lambda)$ 表示超球多项式 $C_n^\lambda$（$\lambda>-1/2$）的正零点，按递减顺序排列，在 $\lambda=0$ 处采用下面指定的约化极限解释。我们的主要结果解决了 Gautschi 的三个高阶单调性问题：其中两个按原文形式解决，第三个按自然开区间形式解决，因为原文的端点 $\lambda=0$ 是奇异的。对于每个 $n\geq3$，$$ \sqrt{\lambda+1}\\,z_{n,j}(\lambda) $$ 在其参数区间平移至 $(0,\infty)$ 后成为完全 Bernstein 函数。对于每个 $n\geq2$，$$ \sqrt{\lambda}\\,z_{n,j}(\lambda) $$ 是 $(0,\infty)$ 上的完全 Bernstein 函数。对于每个 $n\geq4$，最大零点轨迹 $$ \sqrt{\lambda+\frac{2n^2+1}{4n+2}}\\,z_{n,1}(\lambda) $$ 具有相同性质，而对于所有其他正零点，该缩放的导数不是完全单调的。另外，在次数为 4 时的精确计算为 Gautschi 的第四个猜想（涉及线性缩放 $\lambda z_{n,j}(\lambda)$）提供了反例。

英文摘要

Let $z_{n,j}(λ)$ denote the positive zeros, in decreasing order, of the ultraspherical polynomial $C_n^λ$, $λ>-1/2$, with the reduced limiting interpretation at $λ=0$ specified below. Our principal result settles three higher-monotonicity questions of Gautschi: two as printed and the natural open-interval form of the third, whose printed endpoint $λ=0$ is singular. For every $n\geq3$, $$ \sqrt{λ+1}\,z_{n,j}(λ) $$ becomes a complete Bernstein function after translation of its parameter interval to $(0,\infty)$. For every $n\geq2$, $$ \sqrtλ\,z_{n,j}(λ) $$ is a complete Bernstein function on $(0,\infty)$. For every $n\geq4$, the largest-zero trajectory $$ \sqrt{λ+\frac{2n^2+1}{4n+2}}\,z_{n,1}(λ) $$ has the same property, whilst for every other positive zero the derivative of this scaling fails to be completely monotone. Separately, an exact calculation in degree $4$ provides a counterexample to a fourth conjecture of Gautschi, concerning the linear scaling $λz_{n,j}(λ)$.

发表机构

• University of Coimbra（科英布拉大学）

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