至多七维空间形式中有限指标常平均曲率超曲面
Finite index constant mean curvature hypersurfaces in space forms of dimension at most seven
- Fudan University（复旦大学）
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AI总结：
研究至多七维空间形式中有限指标常平均曲率超曲面，在球面、欧氏及双曲空间中分别获得紧致性或极小性结论，并给出维数依赖的显式阈值。
AI中文摘要：
我们研究单连通空间形式中维数$2\le n\le6$、具有有限Morse指标的完备双侧常平均曲率超曲面。在球面中，浸入域是紧致的；在欧氏空间中，每个非紧例子都是极小的；在曲率为$-1$的双曲空间中，我们在显式的依赖于维数的平均曲率阈值下获得紧致性，从曲面情形的$H^2>1$到六维情形的$H^2\ge5/3$。这些结论也适用于体积约束指标，且无需适当性、体积增长或曲率有界假设。一个共同的Green函数论证使用了八个恒等式的显式有理组合以及Hong-Li-Wang的稳定Bernstein定理。稳定的双曲管表明，不存在独立于维数的平均曲率阈值能在所有维数下给出紧致性。
英文摘要：
We study complete two-sided constant-mean-curvature hypersurfaces of dimensions $2\le n\le6$ and finite Morse index in simply connected space forms. In the round sphere the immersed domain is compact; in Euclidean space every noncompact example is minimal; in hyperbolic space of curvature $-1$ we obtain compactness under explicit dimension-dependent mean-curvature thresholds, from $H^2>1$ for surfaces to $H^2\ge5/3$ in dimension six. The conclusions also hold for the volume-constrained index, without properness, volume-growth, or curvature-bound assumptions. A common Green-function argument uses explicit rational combinations of eight identities and the stable Bernstein theorem of Hong-Li-Wang. Stable hyperbolic tubes show that no mean-curvature threshold independent of dimension can give compactness in all dimensions.
