有限域上有限维李代数中模对的数量
On the number of modular pairs in finite dimensional Lie algebras on finite fields
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本文研究有限域上有限维李代数中模对数量，定义子代数交换度，结合代数组合与数论给出上下界，并专门分析海森堡代数。
中文摘要 AI 辅助
给定有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的有限维李代数 $L$，其中 $p^n$ 为素数幂（$n$ 为正整数，$p$ 为素数），我们考虑所有子代数格 $\mathcal{L}(L)$ 中模对 $(A,B)$ 的数量，并引入 $L$ 的“子代数交换度”概念。该概念表示随机选取的两个子代数 $A$ 和 $B$ 可交换的概率。我们结合代数组合学与数论的最新技巧研究 $L$ 的子代数交换度，给出可能影响 $L$ 结构的上界和下界，并对海森堡代数的子代数交换度进行了专门研究。
英文摘要
Given a finite dimensional Lie algebra $L$ on a finite field $\mathbb{F}_{p^n}$ of prime power order $p^n$ (with $n$ positive integer and $p$ prime), we consider the number of modular pairs $(A,B)$ in the lattice of all subalgebras $\mathcal{L}(L)$ and introduce the notion of ``subalgebra commutativity degree'' of $L$. This represents the probability to find that two randomly chosen subalgebras $A$ and $B$ of $L$ are permutable. We investigate the subalgebra commutativity degree of $L$ in connection with recent techniques of algebraic combinatorics and number theory, providing upper and lower bounds which may influence the structure of $L$. A specific study for the subalgebra commutativity degree of Heisenberg algebras is executed.
