关于Brezis等人提出的关于一阶Sobolev空间临界差商刻画的两个问题
On Two Questions by Brezis et al Concerning the Critical Difference Quotient Characterization of First-Order Sobolev Spaces
AI总结：
本文针对Brezis等人提出的两个问题，证明在例外参数范围内齐次Hardy--Sobolev空间严格嵌入BV和W^{1,1}变体空间，且这些空间的商空间不可赋范。
AI中文摘要：
设$N\in\mathbb N$且$\gamma\in[-1,0)$。在[Anal. PDE 17 (2024)]中，Brezis、Seeger、Van~Schaftingen和Yung询问在例外范围$\gamma\in[-1,0)$内，${\mathbb R}^N$上的$\dot{\mathrm{BV}}(\gamma)$和$\dot W^{1,1}(\gamma)$如何与其他函数空间（特别是Hardy--Sobolev空间）相关联，以及这些空间是否可赋范。在本文中，我们证明齐次Hardy--Sobolev空间分别严格嵌入到$\dot{\mathrm{BV}}(\gamma)$和$\dot W^{1,1}(\gamma)$中，并且$\dot{W}^{1,1}(\gamma)/\mathbb R$和$\dot{BV}(\gamma)/\mathbb R$都不可赋范，这回答了上述两个问题。
英文摘要：
Let $N\in\mathbb N$ and $γ\in[-1,0)$. In [Anal. PDE 17 (2024)], Brezis, Seeger, Van~Schaftingen, and Yung asked how, in the exceptional range $γ\in[-1,0)$, $\dot{\mathrm{BV}}(γ)$ and $\dot W^{1,1}(γ)$ on ${\mathbb R}^N$ are related to other function spaces, especially to Hardy--Sobolev spaces, and whether these spaces are normable. In this article, we prove that the homogeneous Hardy--Sobolev space is strictly embedded, respectively, into $\dot{\mathrm{BV}}(γ)$ and $\dot W^{1,1}(γ)$, and neither $\dot{W}^{1,1}(γ)/\mathbb R$ nor $\dot{BV}(γ)/\mathbb R$ is normable, which answers the above two questions.
