局部稠密图极限不等式的一个直接证明
A Direct Proof of the Locally Dense Graphon Inequality
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中文总结 AI 辅助
本文针对局部稠密图极限不等式，通过水平集等分与独立保留的取整方法给出直接证明，并说明原子性条件在一般概率空间中的必要性。
中文摘要 AI 辅助
Bradač、Sudakov 和 Wigderson 通过一个对所有有界非负函数成立的二次不等式刻画了 $p$-局部稠密图极限。他们的证明使用了 Reiher 的有限引理和图极限逼近，并提出了寻求直接证明的问题。我们通过取整简单函数给出一个直接证明。将每个水平集划分为 $m$ 个等测度部分，并独立地以等于其水平的概率保留每个部分。非对角项在期望上一致；对角误差至多为 $\norminf{W-p}/(4m)$。令 $m\to\infty$，然后在 $L^1$ 中逼近，即可证明该不等式。一个三原子例子表明，若允许任意概率空间，则原子性（非原子性）是必要的。
英文摘要
Bradač, Sudakov, and Wigderson characterized $p$-locally dense graphons by a quadratic inequality for all bounded nonnegative functions. Their proof uses Reiher's finite lemma and graphon approximation, and they asked for a direct proof. We give one by rounding simple functions. Divide each level set into $m$ equal-measure pieces and retain each piece independently with probability equal to its level. Off-diagonal terms agree in expectation; the diagonal error is at most $\norminf{W-p}/(4m)$. Letting $m\to\infty$ and then approximating in $L^1$ proves the inequality. A three-atom example shows that atomlessness is necessary if arbitrary probability spaces are allowed.
发表机构
- The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
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