圆盘中非旋转不变的一般化测地线
Non-rotationally invariant generalised geodesics in the disc
- ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
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AI总结：
本文在单位圆盘临界时间下构造了非旋转不变的广义不可压缩流最小化子，通过Hopf商和倾斜测度回答了Bernot等人提出的开放问题。
AI中文摘要：
我们研究单位圆盘 $D:=\{x\in\mathbb{R}^2:\\ |x|<1\}$ 中在临界时间 $T=\pi$ 下，端点对为 $i_D$（$D$ 上的恒等映射）和 $-i_D$ 的 Brenier 松弛最小作用问题。我们证明临界能量壳 \\[ S^3=\{(x,v)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2: |x|^2+|v|^2=1\} \\] 支撑着在物理旋转下不变的平稳作用最小化广义不可压缩流。这回答了 Bernot、Figalli 和 Santambrogio 提出的问题。我们的构造依赖于 $S^3$ 上的归一化表面测度 $\sigma$ 和 Hopf 商 \\[ \Pi=(N,M,L):S^3\to\mathbb S^2_{1/2}, \qquad \mathbb S^2_{1/2}:=\{(n,m,\ell)\in\mathbb{R}^3: n^2+m^2+\ell^2=1/4\}. \\] 这里，\\[ N=\frac12(x_1^2+v_1^2-x_2^2-v_2^2),\quad M=x_1x_2+v_1v_2,\quad L=x_1v_2-x_2v_1. \\] 这个商是谐振子流的第一积分。令 $\tau:=\Pi_\\#\sigma$，令 $g$ 为 $\mathbb S^2_{1/2}$ 上的有界 Borel 函数，其 $L^\infty(\tau)$ 类在 $(n,m,\ell)\mapsto(n,m,-\ell)$ 下是奇的，并令 $\delta\in\mathbb{R}$。如果 $1+\delta g\circ\Pi\ge0$ $\sigma$-a.e.，则 \\[ d\mu_{\delta,g}=\pi(1+\delta g\circ\Pi)\\,d\sigma \\] 具有 Lebesgue 空间边缘分布并且是平稳的。由此产生的路径测度是最小化的。我们还精确确定了这个倾斜族中哪些成员是旋转不变的。如果 $\delta\ne0$，这等价于 $g$ 的 $L^\infty(\tau)$ 类在模 $\tau$-零集意义下的轴对称性。特别地，取 $g(n,m,\ell)=\ell m$ 且 $0<|\delta|<8$ 给出严格正的非旋转不变最小化子。
英文摘要：
We study Brenier's relaxed least-action problem in the unit disc $D:=\{x\in\mathbb{R}^2:\ |x|<1\}$ at the critical time $T=π$, with the endpoint pair $i_D$ (the identity on $D$) and $-i_D$. We prove that the critical energy shell \[ S^3=\{(x,v)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2: |x|^2+|v|^2=1\} \] supports stationary action-minimising generalised incompressible flows that are not invariant under physical rotations. This answers the question posed by Bernot, Figalli, and Santambrogio. Our construction relies on the normalised surface measure $σ$ on $S^3$ and the Hopf quotient \[ Π=(N,M,L):S^3\to\mathbb S^2_{1/2}, \qquad \mathbb S^2_{1/2}:=\{(n,m,\ell)\in\mathbb{R}^3: n^2+m^2+\ell^2=1/4\}. \] Here, \[ N=\frac12(x_1^2+v_1^2-x_2^2-v_2^2),\quad M=x_1x_2+v_1v_2,\quad L=x_1v_2-x_2v_1 . \] This quotient is a first integral of the harmonic-oscillator flow. Let $τ:=Π_\#σ$, let $g$ be a bounded Borel function on $\mathbb S^2_{1/2}$ whose $L^\infty(τ)$-class is odd under $(n,m,\ell)\mapsto(n,m,-\ell)$, and let $δ\in\mathbb{R}$. If $1+δg\circΠ\ge0$ $σ$-a.e., then \[ dμ_{δ,g}=π(1+δg\circΠ)\,dσ\] has Lebesgue spatial marginal and is stationary. The induced path measure is then minimising. We also determine exactly which members of this tilted family are rotationally invariant. If $δ\ne0$, this is equivalent to axisymmetry of the $L^\infty(τ)$-class of $g$, modulo $τ$-null sets. In particular, taking $g(n,m,\ell)=\ell m$ with $0<|δ|<8$ gives strictly positive non-rotationally invariant minimisers.
