一个一致有效的 André–Oort 结果

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我们证明了由方程 $a_1 x_1^m + \ldots + a_n x_n^m = b$ 定义的超曲面 $V \subset Y(1)^n \cong \mathbb{A}^n_\mathbb{C}$ 上的 André–Oort 猜想，其中 $a_1, \ldots, a_n, b \in \overline{\mathbb{Q}}$ 且 $m \in \mathbb{Z}_{>0}$。与之前的证明不同，我们的结果在系数 $a_1, \ldots, a_n, b$ 的高度上既是有效的又是一致的。这是对一类具有任意维数且特殊轨迹非空的子簇的一致 André–Oort 陈述的首次有效证明。我们还证明了超曲面 $V \subset Y(1)^n \times \mathbb{G}_m^l$ 的类似结果。

英文摘要

We prove the André--Oort conjecture for hypersurfaces $V \subset Y(1)^n \cong \mathbb{A}^n_\mathbb{C}$ defined by an equation $a_1 x_1^m + \ldots + a_n x_n^m = b$, where $a_1, \ldots, a_n, b \in \overline{\mathbb{Q}}$ and $m \in \mathbb{Z}_{>0}$. Unlike previous proofs, our result is both effective and uniform in the height of the coefficients $a_1, \ldots, a_n, b$. This is the first effective proof of a uniform André--Oort statement for a class of subvarieties with arbitrary dimension and non-empty special locus. We also prove an analogous result for hypersurfaces $V \subset Y(1)^n \times \mathbb{G}_m^l$.

发表机构

• University of Manchester（曼彻斯特大学）
• Heilbronn Institute for Mathematical Research（海尔布隆数学研究所）

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