关于整数一致超圈猜想的一个解答
Solution to a conjecture on integral uniform hypercycles
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中文总结 AI 辅助
本文证实了关于整数一致超圈的猜想，完整刻画了 $k$-一致超圈为整数的条件，即仅当 $k=n-1$ 或少数特殊情形，方法涉及谱计算与数论工具。
中文摘要 AI 辅助
如果一个超图的所有邻接特征值都是整数，则称该超图是整数的。最近，Portugal 和 Del-Vecchio 在 [\\(\emph{Appl. Math. Comput.}\\) 504: 129507 (2025)] 中研究了整数超图，并在三种特殊情形下给出了整数超圈的特征刻画：$3$-一致、$4$-一致和$5$-一致超圈。在同一篇文章中，他们猜想：当 $n>6$ 且 $k<n-1$ 时，$n$ 个顶点上的 $k$-一致超圈 $\Cnk$ 永远不是整数的。在本文中，我们证实了这一猜想，并证明了对于 $2\le k\le n-1$，$\Cnk$ 是整数的当且仅当 $k=n-1$ 或 $(n,k)\in\{(4,2),(6,2),(6,3),(6,4)\}$。证明首先计算 $\Cnk$ 的完整邻接谱，然后利用 Niven 定理、一个分圆单位引理、欧拉 totient 函数的一个基本性质以及分圆域的 Galois 对称性来完成。我们的结果给出了 $n$ 个顶点上 $k$-一致整数超圈的完整特征刻画。
英文摘要
A hypergraph is said to be integral if all of its adjacency eigenvalues are integers. Recently, Portugal and Del-Vecchio in [\emph{Appl. Math. Comput.} 504: 129507 (2025)] studied the integral hypergraphs and gave a characterization of integral hypercycles in three particular cases: $3$-uniform, $4$-uniform and $5$-uniform hypercycles. In the same article, they conjectured that the $k$-uniform hypercycle on $n$ vertices $\Cnk$ is never integral for $k<n-1$, when $n>6$. In this article, we confirm this conjecture and prove that for $2\le k\le n-1$, $\Cnk$ is integral if and only if $k=n-1$ or $(n,k)\in\{(4,2),(6,2),(6,3),(6,4)\}$. The proof begins with computing the complete adjacency spectrum of $\Cnk$ and then uses Niven's theorem, a cyclotomic-unit lemma, an elementary property of Euler's totient function, and the Galois symmetry of cyclotomic fields to complete it. Our result gives a complete characterization of $k$-uniform integral hypercycles on $n$ vertices.
发表机构
- SRM Institute of Science and Technology（SRM科学技术学院）
- SRM University-AP（SRM大学安得拉邦校区）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
