全纯函数在Plessner点处的非切向值域
Non-tangential ranges of holomorphic functions at Plessner points
AI总结：
本文研究随机缺项级数在Plessner点处的非切向值域，证明其像的渐近密度为零且面积为零，并给出任意全纯函数在几乎每个Plessner点处非切向值域的Hausdorff维数为2。
AI中文摘要：
考虑单位圆盘上的随机缺项级数 $f(z) = \frac{\xi_k}{\sqrt{k}} \\, z^{2^k}$，其中 $\{ \xi_k \}$ 是独立的标准复高斯随机变量。我们证明，几乎必然地，边界 $\partial \mathbb{D}$ 上的几乎每个点 $\zeta$ 都是 $f$ 的 Plessner 点，然而以 $\zeta$ 为顶点的每个 Stolz 角的像的渐近密度为零。这否定了 Collingwood 和 Baernstein 关于 Plessner 定理可能加强形式的问题。在此例中，对几乎每个 $\zeta \in \partial \mathbb{D}$，$f$ 在 $\zeta$ 处的非切向值域面积为零。非切向值域不可能更小：我们证明，对于单位圆盘上的任意全纯函数，在几乎每个 Plessner 点处，非切向值域的 Hausdorff 维数为 2。
英文摘要：
Consider the random lacunary series $f(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ξ_k}{\sqrt{k}} \, z^{2^k}$ on the unit disk, where $\{ ξ_k \}$ are independent standard complex Gaussian random variables. We show that almost surely, a.e. $ζ\in \partial \mathbb{D}$ is a Plessner point of $f$, yet the image of every Stolz angle with vertex at $ζ$ has asymptotic density zero. This gives a negative answer to questions of Collingwood and Baernstein concerning possible strengthenings of Plessner's theorem. In this example, for a.e. $ζ\in \partial \mathbb{D}$, the non-tangential range of $f$ at $ζ$ has zero area. The non-tangential range cannot be much smaller: we show that for an arbitrary holomorphic function on the unit disk, the non-tangential range has Hausdorff dimension 2 at almost every Plessner point.
