不可压缩反演对称Valanis-Landel型能量的多凸性

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设 $\lambda_i = \nu_i(F)$ 表示变形梯度 $F \in {\rm GL}^+(3)$ 的三个奇异值。我们考虑不可压缩各向同性能量族 $ W_\psi(F)=\sum_i \psi\left(|\\!\log\lambda_i|\right)$，其中 $\psi:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$。对所有 $s\geq2$，令 $g(s)=\psi\left({\rm arcosh}\frac{s}{2}\right)$。若 $g$ 具有凸且非递减的延拓 $\bar g$ 到 $[0,\infty)$，则 $W_\psi$ 是显式多凸函数 $ F\mapsto\sum_i \bar g\left(\nu_i(F+{\rm Cof} F)\right)$ 在 ${\rm SL}(3)$ 上的限制。证明利用了在 ${\rm SL}(3)$ 上（至多置换意义下）恒等式 $\nu_i(F+{\rm Cof} F)=\lambda_i+\lambda_i^{-1}$ 以及Ball关于奇异值函数的凸性定理。我们还给出了沿包含在 ${\rm SL}(3)$ 中的秩一线的直接证明，并推导出一个便捷的一维微分充分条件。特别地，$ F\mapsto\sum_i e^{\log^2\\!\lambda_i} $ 在 ${\rm SL}(3)$ 上是秩一凸的，且具有所述的多凸延拓。简单剪切计算表明，仅关于 $\log \lambda_i$ 的标量凸性是不够的；二次Hencky能量 $\sum_i \log^2\lambda_i$ 在 ${\rm SL}(3)$ 上不是秩一凸的。

英文摘要

{Let $λ_i = ν_i(F)$ denote the three singular values of the deformation gradient $F \in {\rm GL}^+(3)$.} We consider the family of incompressible isotropic energies $ W_ψ(F)=\sum_i ψ\left(|\!\logλ_i|\right)$ with $ψ:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$. Set $g(s)=ψ\left({\rm arcosh}\frac{s}{2}\right)$ for all $s\geq2$. If $g$ has a convex and non-decreasing extension $\bar g$ to $[0,\infty)$, then $W_ψ$ is the restriction to ${\rm SL}(3)$ of the explicit polyconvex function \ {$ F\mapsto\sum_i \bar g\left(ν_i(F+{\rm Cof} F)\right). $} The proof uses the identity $ν_i(F+{\rm Cof} F)=λ_i+λ_i^{-1}$, up to permutation, on ${\rm SL}(3)$ and Ball's convexity theorem for functions of the singular values. We also give a direct proof along rank-one lines contained in ${\rm SL}(3)$ and derive a convenient one-dimensional differential sufficient condition. In particular, $ F\mapsto\sum_i e^{\log^2\!λ_i} $ is rank-one convex on ${\rm SL}(3)$ and possesses the stated polyconvex extension. A simple-shear computation shows that scalar convexity in $\log λ_i$ alone is insufficient; the quadratic Hencky energy $\sum_i \log^2λ_i$ is not rank-one convex on ${\rm SL}(3)$.

发表机构

• Alexandru Ioan Cuza University of Iaşi（雅西亚历山德鲁·约安库扎大学）
• Octav Mayer Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Iaşi Branch（罗马尼亚科学院奥克塔夫·梅耶尔数学研究所雅西分部）
• Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
• Universität Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）

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