发表机构
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University; Institute for Basic Science（郑州大学数学与统计学院; 基础科学研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明诱导 $K_{t,t}$-自由图中，有界 sim-宽度或有界诱导匹配树宽均蕴含多项式有界的树独立数，分别给出 $O_t((s+1)^{2t^2-2t})$ 和 $t^{O_\mu(1)}$ 的界，回答了两个开放问题并改进了已有结果。
AI 中文摘要
树独立数 $tree\text{-}\alpha(G)$、诱导匹配树宽 $tree\text{-}\mu(G)$ 和 sim-宽度 $simw(G)$ 是基于树分解或分支分解定义的图参数。我们为诱导 $K_{t,t}$-自由图的树独立数建立了两个多项式界，一个用 sim-宽度表示，另一个用诱导匹配树宽表示。Abrishami 等人 (SIDMA, 2025) 和 Brettell 等人 (EJC, 2025) 询问有界 sim-宽度与排除诱导 $K_{t,t}$ 是否意味着有界树独立数。我们通过证明对于整数 $t\geq 2$ 和 $s\geq 1$，每个满足 $simw(G)\leq s$ 的诱导 $K_{t,t}$-自由图 $G$ 都有 $tree\text{-}\alpha(G)=O_t\left((s+1)^{2t^2-2t}\right)$ 来回答这个问题。这也证明了 Bešter Štorgel 等人 (arXiv, 2026) 关于诱导 $K_{1,t}$-自由图的一个猜想的多项式加强，并改进了 Alon 等人 (arXiv, 2025) 的一个定理，将指数从 $3t^2+1$ 降低到 $2t^2-2t$。Alon 等人 (arXiv, 2025) 询问对于固定的诱导匹配树宽，树独立数是否在 $t$ 上多项式有界。使用 VC-维论证，我们通过证明对于整数 $\mu\geq 1$ 和 $t\geq 2$，每个满足 $tree\text{-}\mu(G)\leq\mu$ 的诱导 $K_{t,t}$-自由图 $G$ 都有 $tree\text{-}\alpha(G)=t^{O_\mu(1)}$ 来肯定地回答这个问题。
英文摘要
The tree-independence number $tree\text{-}α(G)$, the induced matching treewidth $tree\text{-}μ(G)$, and the sim-width $simw(G)$ are graph parameters defined in terms of tree or branch decompositions. We establish two polynomial bounds for the tree-independence number of induced $K_{t,t}$-free graphs, one in terms of sim-width and the other in terms of induced matching treewidth. Abrishami et al. (SIDMA, 2025) and Brettell et al. (EJC, 2025) asked whether bounded sim-width, together with the exclusion of an induced $K_{t,t}$, implies bounded tree-independence number. We answer this question by proving that, for integers $t\geq 2$ and $s\geq 1$, every induced $K_{t,t}$-free graph $G$ with $simw(G)\leq s$ satisfies $tree\text{-}α(G)=O_t\left((s+1)^{2t^2-2t}\right)$. This also proves a polynomial strengthening of a conjecture of Bešter Štorgel et al. (arXiv, 2026) concerning induced $K_{1,t}$-free graphs and improves a theorem of Alon et al. (arXiv, 2025) by reducing the exponent from $3t^2+1$ to $2t^2-2t$. Alon et al. (arXiv, 2025) asked whether, for fixed induced matching treewidth, the tree-independence number is polynomially bounded in $t$. Using a VC-dimension argument, we answer this question affirmatively by showing that, for integers $μ\geq 1$ and $t\geq 2$, every induced $K_{t,t}$-free graph $G$ with $tree\text{-}μ(G)\leqμ$ satisfies $tree\text{-}α(G)=t^{O_μ(1)}$.
